La valeur absolue mesure la distance d'un nombre à zéro : toujours positive, elle s'utilise pour comparer, résoudre des équations simples et étudier des distances.

La valeur absolue (niveau 2nde)

Thème : Nombres et calculs — notion : valeur absolue

Objectifs

Comprendre la définition de la valeur absolue et la lire comme une distance.
Savoir calculer \(\lvert x\rvert\) pour des nombres réels simples.
Utiliser les propriétés : multiplicativité et inégalité triangulaire.
Résoudre des équations et inéquations impliquant une valeur absolue.

Notions clés

Définition

Pour tout nombre réel \(x\), la valeur absolue de \(x\) se note \(\lvert x\rvert\) et se définit par :

\[\lvert x\rvert = \begin{cases} x &\text{si } x \ge 0,\\ -x &\text{si } x < 0. \end{cases}\]

Propriétés importantes

Non-négativité : \(\lvert x\rvert \ge 0\) et \(\lvert x\rvert = 0\) si et seulement si \(x=0\).
Symétrie (fonction paire) : \(\lvert -x\rvert = \lvert x\rvert\).
Multiplicativité : \(\lvert ab\rvert = \lvert a\rvert\,\lvert b\rvert\).
Inégalité triangulaire : pour tous réels \(a,b\), \(\lvert a+b\rvert \le \lvert a\rvert + \lvert b\rvert\).

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie pour tous réels \(a,b\) ?

\(\lvert a-b\rvert = \lvert a\rvert - \lvert b\rvert\)
\(\lvert a+b\rvert \le \lvert a\rvert + \lvert b\rvert\)
\(\lvert a+b\rvert = \lvert a\rvert + \lvert b\rvert\)

L'inégalité triangulaire (réponse 2) est toujours vraie ; l'égalité stricte (3) n'est pas toujours vraie et (1) est fausse en général.

Représentation (graphique et schéma)

Graphique La courbe de \(y=\lvert x\rvert\) a la forme d'un "V". Voici un graphique interactif :

Schéma expliquant la valeur comme distance sur une droite numérique :

Exemples résolus

Exemple 1 — calcul simple

Calculer \(\lvert -7\rvert\).

Voir la solution

On applique la définition : \(-7<0\) donc \(\lvert -7\rvert = -(-7) = 7\).

Exemple 2 — résoudre une équation

Résoudre \(\lvert x-2\rvert = 5\).

Étape 1 : poser deux cas selon la définition. \(x-2\ge 0\) ou \(x-2<0\).

Étape 2 : si \(x-2\ge0\) alors \(\lvert x-2\rvert = x-2 =5\) d'où \(x=7\).

Étape 3 : si \(x-2<0\) alors \(\lvert x-2\rvert = -(x-2)=2-x=5\) d'où \(x=-3\).

Conclusion : les solutions sont \(x=7\) et \(x=-3\).

Quelle est l'ensemble solution de \(\lvert x\rvert = 4\) ?

\(\{4\}\)
\(\{-4\}\)
\(\{-4,4\}\)

\(\lvert x\rvert = 4\) signifie que la distance à 0 vaut 4, donc \(x=4\) ou \(x=-4\).

Erreurs fréquentes

Quelques conseils :

Ne pas supprimer les deux cas (positif/négatif) quand on résout une équation avec une valeur absolue.
Pour vérifier une solution, remplacer dans l'expression d'origine.
Savoir utiliser l'inégalité triangulaire pour encadrer une somme ou une différence.

On affirme : \(\lvert 2-5\rvert = \lvert 2\rvert - \lvert 5\rvert\). Est-ce vrai ?

Non, l'égalité est fausse en général.
Oui, c'est vrai pour tous les réels.
Seulement si les deux nombres sont positifs.

Par exemple \(\lvert 2-5\rvert=3\) tandis que \(\lvert2\rvert-\lvert5\rvert=-3\) : ce n'est pas égal.

Récapitulatif

La valeur absolue mesure la distance à 0 : \(\lvert x\rvert \ge 0\).
Définition par cas : \(\lvert x\rvert = x\) si \(x\ge0\), sinon \(\lvert x\rvert = -x\).
Propriétés utiles : \(\lvert ab\rvert = \lvert a\rvert\,\lvert b\rvert\) et \(\lvert a+b\rvert \le \lvert a\rvert + \lvert b\rvert\).
Pour résoudre \(\lvert expression\rvert = c\) avec \(c\ge0\), envisager deux cas.

Définition

\(\lvert x\rvert = x\) si \(x\ge0\), sinon \( -x\).

Inégalité triangulaire

\(\lvert a+b\rvert \le \lvert a\rvert + \lvert b\rvert\)

Produit

\(\lvert ab\rvert = \lvert a\rvert\,\lvert b\rvert\)

Équation \(\lvert x-a\rvert = b\)

Solutions : \(x=a\pm b\) si \(b\ge0\)