Nombres et calculs : Les intervalles

Introduction

Les intervalles sont des notions fondamentales en mathématiques qui permettent de représenter une plage de nombres. Ils sont utilisés pour définir des ensembles, étudier des solutions d’équations, ou encore pour décrire des domaines.

Les types d'intervalles

Il existe plusieurs types d’intervalles, en fonction de ce qui est inclus ou exclu à leurs extrémités :

Intervalle fermé : inclut ses extrémités. Notation : \([a, b]\).
Intervalle ouvert : exclut ses extrémités. Notation : \((a, b)\).
Intervalle semi-ouvert ou semi-fermé :
- \( [a, b) \) : inclut \(a\) mais exclut \(b\).
- \( (a, b] \) : exclut \(a\) mais inclut \(b\).

Représentation graphique

Les intervalles sont souvent représentés sur une droite numérique :

\( [a, b] \) : une ligne pleine entre \(a\) et \(b\), avec des points pleins aux extrémités.
\( (a, b) \) : une ligne pleine entre \(a\) et \(b\), avec des points vides pour exclure les extrémités.
\( [a, b) \) ou \( (a, b] \) : représentation mixte selon la notation.

Calcul avec les intervalles

Les opérations sur les intervalles suivent des règles précises :

Union : l’union de deux intervalles est l’ensemble des points qui appartiennent à l’un ou l’autre. Par exemple :
```
[1, 3] \cup (2, 4) = [1, 4)
```
Intersection : l’intersection est l’ensemble des points communs. Par exemple :
```
[2, 5] \cap (3, 6) = (3, 5]
```
Différence : l’ensemble des points d’un intervalle qui n’appartiennent pas à l’autre. Par exemple :
```
[1, 4] \setminus (2, 3) = [1, 2] \cup [3, 4]
```

Exemple

Soit \(A = [2, 6]\) et \(B = (4, 8)\), calculettes l’union et l’intersection :

Union : \(A \cup B = [2, 8)\)
Intersection : \(A \cap B = (4, 6]\)

Conclusion

Les intervalles sont des notions essentielles pour définir des ensembles de nombres. Leur représentation graphique facilite la compréhension, et les opérations sur eux permettent d’étudier des relations entre différents ensembles.