Les intervalles en mathématiques

Introduction

Les intervalles sont des notions fondamentales en mathématiques qui permettent de représenter des ensembles de nombres situés entre deux valeurs. Ils sont souvent utilisés pour décrire des domaines de définition ou d'étude.

Les différents types d’intervalles

1. L’intervalle ouest (ou fermé) :

Représenté par \[a,\,b\], il inclut ses bornes. Tous les nombres \(x\) tels que \(a \leq x \leq b\).

Exemple : \[2,\,5\] contient tous les \(x\) tels que \(2 \leq x \leq 5\).

2. L’intervalle ouest (ou ouvert) :

Représenté par \(]a,\,b[\), il n’inclut pas ses bornes. Tous les \(x\) tels que \(a < x < b\).

Exemple : \(]2,\,5[\) contient tous les \(x\) tels que \(2 < x < 5\).

3. L’intervalle semi-ouvert ou semi-fermé :

• \( [a,\,b[ \) : inclut la borne \(a\) mais pas \(b\).

  Les \(x\) tels que \(a \leq x < b\).

• \( ]a,\,b] \) : n’inclut pas \(a\) mais inclut \(b\).

  Les \(x\) tels que \(a < x \leq b\).

Représentation graphique

Les intervalles sont souvent représentés sur une droite numérique :

• \[a,\,b\] : un segment fermé entre \(a\) et \(b\) avec des points pleins.
  Exemple :
• \(]a,\,b[\) : un segment ouvert avec des cercles ouverts aux extrémités.
  Exemple :

Notion de sous-ensemble

Un intervalle est un sous-ensemble de la droite numérique :
Par exemple, \[1,\,4\[\ est un sous-ensemble de \(\mathbb{R}\).

Propriétés importantes

• Tout intervalle est connexe (il n’existe pas deux parties disjointes non vides).
• Les intervalles peuvent être infinis :
  • \(\left]-\infty,\,a ight[\) : tous les \(x\) tels que \(x < a\).
  • \(\left]a,\,+\infty ight[\) : tous les \(x\) tels que \(x > a\).

Résumé

Les intervalles permettent de définir des ensembles de nombres selon des bornes et des inclusions, essentiels en analyse, en particulier pour l'étude des fonctions, des limites, ou des domaines de définition.

Exercice d’application

Représentez graphiquement l’intervalle \(]3,\,7]\) sur une droite numérique et indiquez si les points 3 et 7 y appartiennent.