Nombres et Calculs : Majorant et Minorant

Introduction

Dans le cadre des mathématiques de 2nde, il est important de connaître les notions de majorant et minorant d'un ensemble de nombres ou d'une fonction. Cela permet d'encadrer une valeur ou une fonction entre deux limites.

Définitions

Majorant

Un majorant d'un ensemble \( E \) de nombres réels est un nombre \( M \) tel que :

• pour tout \( x \) dans \( E \), \( x \leq M \)
• \( M \) est appelé un majorant de l'ensemble.

Minorant

Un minorant d'un ensemble \( E \) est un nombre \( m \) tel que :

• pour tout \( x \) dans \( E \), \( x \geq m \)
• \( m \) est appelé un minorant de l'ensemble.

Exemples

Considérons l'ensemble \( E = \{2, 3, 5, 7\} \):

• Un majorant est \( 7 \) (le maximum) ou tout nombre supérieur, par exemple \( 10 \).
• Un minorant est \( 2 \) (le minimum) ou tout nombre inférieur, par exemple \( 1 \).

Encadrement d'une fonction

Pour une fonction \( f \) définie sur un intervalle, si on trouve deux fonctions \( g \) et \( h \) telles que :

\[ g(x) \leq f(x) \leq h(x) ext{ pour tout } x ext{ dans l'intervalle} \]

alors \( g \) est un minorant et \( h \) un majorant de la fonction \( f \).

Résumé

• Majorant : valeur qui dépasse ou égalise tous les éléments ou toutes les valeurs d'une fonction.
• Minorant : valeur qui est inférieure ou égale à tous les éléments ou toutes les valeurs d'une fonction.
• Permettent d'encadrer ou limiter les valeurs.

Conclusion

Les notions de majorant et minorant sont essentielles pour analyser le comportement d'un ensemble ou d'une fonction, notamment pour l'approche de limites et de l'approximation.