Les majorants et minorants donnent des bornes pour un nombre ou une fonction.

Objectifs

Comprendre la définition d'un majorant et d'un minorant.
Apprendre à déterminer ces bornes dans des exercices simples.
Savoir utiliser ces notions pour encadrer une valeur ou une fonction.

Notions clés

Notion de majorant et minorant

Supposons que vous cherchiez à encadrer un nombre ou une fonction. Un majorant est un nombre ou une valeur qui est toujours supérieur ou égal à cette quantité, tandis qu'un minorant est toujours inférieur ou égal à cette même quantité.

Par exemple, si une fonction \(f(x)\) est comprise entre \(\alpha\) et \(\beta\) pour tous les \(x\) d'un intervalle, alors :

Majorant: \(\beta\) (supérieur ou égal à \(f(x)\) pour tout \(x\))
Minorant: \(\alpha\) ( inférieur ou égal à \(f(x)\) pour tout \(x\))

Exemples résolus

Exemple 1 : Encadrer une valeur

On considère le nombre \(3,14\). Trouvez un minorant et un majorant simples.

Voir la solution

On remarque que \(3,14\) est compris entre \(3,1\) et \(3,2\), donc :

Minorant : \(3,1\)

Majorant : \(3,2\)

Exemple 2 : Encadrer une fonction

Considérons la fonction \(f(x) = x^2\) sur l'intervalle \([1, 3]\). Trouvez un majorant et un minorant.

Voir la solution

Sur \([1, 3]\), la fonction \(f(x) = x^2\) est croissante.

Le minimum est atteint en \(x=1\) : \(f(1)=1^2=1\).

Le maximum est atteint en \(x=3\) : \(f(3)=3^2=9\).

Donc, le minorant est 1 et le majorant est 9.

Erreurs fréquentes

Confondre majorant et maximum : le majorant n'a pas forcément été atteint, c'est une borne supérieure.
Confondre minorant et minimum : le minorant n'est pas forcément atteint, c'est une borne inférieure.
Oublier que le majorant doit être supérieur ou égal à la quantité pour tout \(x\), pas seulement dans certains cas.

Récapitulatif

Majorant

Borne supérieure ou égal à la valeur pour tout \(x\).

Minorant

Borne inférieure ou égal à la valeur pour tout \(x\).

Encadrement

Utilisation d'une borne supérieure et d'une borne inférieure pour encadrer une valeur ou une fonction.