Nombres et Calculs

1. Opérations sur les nombres décimaux et rationnels

Addition et Soustraction

Pour additionner ou soustraire des nombres décimaux ou rationnels, il faut aligner les chiffres selon la virgule décimale, puis effectuer le calcul comme pour des entiers :

• Exemple : \( 3,45 + 2,7 = 3,45 + 2,70 = 6,15 \)
• Exemple : \( rac{5}{8} + rac{1}{4} = rac{5}{8} + rac{2}{8} = rac{7}{8} \)

Multiplication

Multiplier un nombre décimal par un entier : on ignore la virgule puis on replace la virgule dans le résultat en comptant le nombre de décimales initiales.

Exemple : \( 2,5 imes 3 = 25 imes 3 = 75 \) avec 1 chiffre après la virgule, résultat : \( 7,5 \)

Division

Pour diviser un nombre décimal par un entier, on peut convertir le diviseur en entier en déplaçant la virgule, puis effectuer la division :

Exemple : \( 3,6 \div 0,6 = (36 \div 6) = 6 \)

2. Notation scientifique

Définition

La notation scientifique permet d'écrire des nombres très grands ou très petits sous une forme compacte :

\[ a imes 10^p \] où

• \ a \ est un nombre décimal compris entre 1 et 10 (ou entre -10 et -1),
• \ p \ est un entier (positif, négatif ou nul).

Exemples

• Grand nombre : \( 4500000 = 4,5 imes 10^6 \)
• Petit nombre : \( 0,00045 = 4,5 imes 10^{-4} \)

\h3> 4. Puissances

Définition

Une puissance est une écriture qui indique que l’on multiplie un nombre par lui-même un certain nombre de fois :

\[ a^n \] où

• \ a \ est la base, un nombre réel différent de 0,
• \ n \ est l'exposant, un entier naturel, représentant le nombre de facteurs à multiplier.

Exemples

• \( 2^3 = 2 imes 2 imes 2 = 8 \)
• \( 5^2 = 25 \)
• \( 10^0 = 1 \) (par définition)

Propriétés importantes

• \( a^m imes a^n = a^{m + n} \)
• \( (a^m)^n = a^{m imes n} \)
• \( a^m / a^n = a^{m - n} \) (si \( a eq 0 \))