Nombres premiers et décomposition — Cours synthétique (Divisibilité et nombres premiers)
Comprendre la divisibilité, reconnaître les nombres premiers et décomposer un entier en facteurs premiers.
Nombres premiers et décomposition
Objectifs
- Définir divisibilité et écrire un nombre sous forme de produits de facteurs premiers.
- Identifier les nombres premiers et comprendre leur rôle dans la décomposition.
- Utiliser des critères simples de divisibilité et réaliser des décompositions pas à pas.
Notions clés
Divisibilité
On dit que \(b\) est un diviseur de \(a\) si et seulement s'il existe un entier \(k\) tel que \(a = b \cdot k\). En notation compacte, \[ b \mid a \].
Exemple : \(12 \mid 144\) car \(144 = 12 \cdot 12\).
Nombres premiers
Un entier naturel \(p > 1\) est premier s'il n'a que deux diviseurs distincts : 1 et \(p\) lui-même. Autrement dit, si \(d \mid p\) alors \(d \in \{1, p\}\).
Décomposition en facteurs premiers
Tout entier \(n > 1\) peut s'écrire de manière unique comme produit de puissances de nombres premiers : \[ n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k} \] avec \(p_i\) premiers et \(a_i \in \mathbb{N}\).
Exemples résolus
Exemple 1 : décomposition de 360
On cherche les facteurs premiers pas à pas :
Réponse finale : \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\).
Voir la solution détaillée
Autres détails : on teste les diviseurs premiers 2, 3, 5 successivement et on continue tant que le quotient est divisible par le même premier.
Erreurs fréquentes
- Confondre « premier » et « nombre avec peu de diviseurs » : 1 n’est pas premier.
- Penser que tout nombre est premier parce qu’il ne se décompose pas immédiatement en facteurs simples.
- Oublier que l’écriture en facteurs premiers est unique (à réarrangement près).
- Utiliser le symbole × au lieu de \times dans les formules LaTeX (à éviter dans les dé limitations).
Récapitulatif court
- Divisibilité : \(a = b \cdot k\) pour un entier \(k\ \in \mathbb{N}\) → \(b | a\).
- Nombres premiers : >1 et ne divisibles que par 1 et eux-mêmes.
- Décomposition en facteurs premiers : tout \(n > 1\) s’écrit \(n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}\).
Cartes mémo
Schéma : stratégie de décomposition
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