Nombres rationnels : erreurs fréquentes et exercices progressifs corrigés

Un nombre rationnel est un quotient de deux entiers ; pour bien calculer avec lui, il faut surtout éviter quelques pièges classiques sur les signes, les dénominateurs et les priorités.

Objectifs

Reconnaître un nombre rationnel et l'écrire sous forme de fraction simplifiée.
Repérer et corriger les erreurs les plus fréquentes : signes, addition de fractions, division, priorités.
Réussir des exercices de difficulté croissante, du niveau 1 (automatismes) au niveau 4 (problème).

Notions clés à revoir avant de s'entraîner

1. Définition et écritures

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire \(\frac{a}{b}\) avec \(a\) et \(b\) entiers relatifs et \(b \neq 0\).

Tout entier est rationnel : \(-5 = \frac{-5}{1}\).
Un décimal est rationnel : \(0{,}75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}\).
Règle des signes : \(\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}\) et \(\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}\).
Simplifier : on divise le numérateur et le dénominateur par un même diviseur commun. Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier.

2. Les quatre opérations

\[ \frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a+b}{d} \qquad \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \qquad \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \]

Pour additionner ou soustraire, il faut d'abord un dénominateur commun. Pour diviser par un rationnel non nul, on multiplie par son inverse : l'inverse de \(\frac{c}{d}\) est \(\frac{d}{c}\) (avec \(c \neq 0\) et \(d \neq 0\)).

Quel nombre n'est PAS égal à \(-\frac{2}{3}\) ?

\(\frac{-2}{3}\)
\(\frac{2}{-3}\)
\(\frac{-2}{-3}\)

\(\frac{-2}{-3}\) a deux signes moins : ils se compensent, donc il vaut \(\frac{2}{3}\), un nombre positif.

Erreurs fréquentes : les repérer et les corriger

Erreur 1 : additionner les numérateurs et les dénominateurs

\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \]

Erreur 2 : oublier le signe en simplifiant

\(\frac{-18}{24}\) se simplifie par 6 : \(\frac{-18}{24} = \frac{-3}{4} = -\frac{3}{4}\). Le signe moins reste présent du début à la fin.

Erreur 3 : comparer des négatifs comme des positifs

Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de zéro. Ainsi \(-\frac{3}{4} > -\frac{5}{6}\), même si \(\frac{3}{4} < \frac{5}{6}\).

Sur la droite graduée, \(-\frac{5}{6}\) est à gauche de \(-\frac{3}{4}\) : il est donc plus petit.

Erreur 4 : diviser sans prendre l'inverse du bon nombre

Dans \(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}\), on garde la première fraction et on inverse la deuxième seulement. Et on ne peut jamais diviser par 0 : 0 n'a pas d'inverse.

Erreur 5 : oublier les priorités

La multiplication et la division passent avant l'addition et la soustraction, comme avec les entiers. Dans \(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \times \frac{-2}{3}\), on calcule d'abord le produit.

Erreur 6 : « simplifier » une somme

Combien vaut \(\frac{2}{3} - \frac{1}{6}\) ?

\(\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{-3}\)

\(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\), donc \(\frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Soustraire numérateurs et dénominateurs donnerait le faux résultat \(\frac{1}{-3}\).

Exercices progressifs corrigés

Cherche chaque exercice sur ton cahier avant d'ouvrir la correction.

Niveau 1 : simplifier et comparer

Exercice 1. Écris \(\frac{-18}{24}\) sous forme irréductible.

Voir la solution

18 et 24 sont tous deux divisibles par 6 : \(\frac{-18}{24} = \frac{-18 \div 6}{24 \div 6} = -\frac{3}{4}\). 3 et 4 n'ont plus de diviseur commun autre que 1 : la fraction est irréductible.

Exercice 2. Compare \(-\frac{3}{4}\) et \(-\frac{5}{6}\).

Étape 1 : dénominateur commun 12. \(-\frac{3}{4} = -\frac{9}{12}\) et \(-\frac{5}{6} = -\frac{10}{12}\).

Étape 2 : comme \(9 < 10\), on a \(\frac{9}{12} < \frac{10}{12}\).

Étape 3 : pour des négatifs, l'ordre s'inverse : \(-\frac{9}{12} > -\frac{10}{12}\), donc \(-\frac{3}{4} > -\frac{5}{6}\).

Niveau 2 : additionner et soustraire

Exercice 3. Calcule \(\frac{2}{3} - \frac{5}{4}\).

Étape 1 : dénominateur commun 12. \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\) et \(\frac{5}{4} = \frac{15}{12}\).

Étape 2 : \(\frac{8}{12} - \frac{15}{12} = \frac{8 - 15}{12} = \frac{-7}{12}\).

Étape 3 : résultat \(-\frac{7}{12}\), irréductible. Contrôle : on enlève plus que ce qu'on a, le résultat est bien négatif.

Niveau 3 : multiplier, diviser, respecter les priorités

Exercice 4. Calcule \(-\frac{4}{9} \times \frac{15}{8}\) en simplifiant avant de multiplier.

Voir la solution

\[ -\frac{4}{9} \times \frac{15}{8} = -\frac{4 \times 15}{9 \times 8} = -\frac{4 \times 3 \times 5}{3 \times 3 \times 4 \times 2} = -\frac{5}{6} \]

On a barré les facteurs communs 4 et 3 : c'est permis car ce sont des facteurs d'un produit.

Exercice 5. Calcule \(\frac{-3}{5} \div \frac{9}{-10}\).

Étape 1 : signe du résultat. Négatif divisé par négatif donne un positif.

Étape 2 : on multiplie par l'inverse de la deuxième fraction : \(\frac{-3}{5} \times \frac{-10}{9}\).

Étape 3 : \(\frac{3 \times 10}{5 \times 9} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}\).

Exercice 6. Calcule \(A = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \times \frac{-2}{3}\).

Voir la solution

\begin{align} A &= \frac{1}{2} + \frac{3 \times (-2)}{4 \times 3} \\ &= \frac{1}{2} + \frac{-6}{12} \\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\ &= 0 \end{align}

Le produit est calculé en premier. Si l'on avait additionné d'abord, on aurait trouvé \(\frac{5}{4} \times \frac{-2}{3} = -\frac{5}{6}\), ce qui est faux.

Niveau 4 : problème

Étape 1 : après les fournitures, il reste \(1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\) de la somme.

Étape 2 : le transport coûte \(\frac{1}{3}\) de ce reste : \(\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{5}\) de la somme.

Étape 3 : il reste \(\frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}\) de la somme.

Étape 4 : \(\frac{2}{5} \times 6\,000 = 2\,400\). Il reste 2 400 F CFA à Awa. Contrôle : fournitures 2 400 F, transport 1 200 F, total 3 600 F dépensés, et \(6\,000 - 3\,600 = 2\,400\).

Quel est l'inverse de \(-\frac{2}{3}\) ?

\(-\frac{3}{2}\)
\(\frac{3}{2}\)
\(\frac{2}{3}\)

L'inverse garde le signe : \(-\frac{2}{3} \times \left(-\frac{3}{2}\right) = 1\). Le nombre \(\frac{2}{3}\) est l'opposé, pas l'inverse.

Récapitulatif

Nombre rationnel

Quotient de deux entiers a sur b, avec b différent de 0.

Addition de fractions

On met au même dénominateur, puis on additionne les numérateurs seulement.

Diviser par une fraction

On multiplie par son inverse : on retourne la deuxième fraction.

Comparer deux négatifs

Le plus grand est le plus proche de zéro.

Simplifier

On divise par un facteur commun ; jamais de barrage dans une somme.