Les nombres rationnels et irrationnels

Comprendre ce qu’est un nombre irrationnel, avec des exemples concrets et des propriétés essentielles.

Objectifs

Définir les nombres rationnels et irrationnels.
Donner des exemples d’irrationnels et rappeler quelques propriétés simples.
Illustrer l’irrationalité par une démonstration accessible.
Savoir reconnaître, à partir de leur écriture décimale, si un nombre est rationnel ou irrationnel.

Notions clés

Notion 1 · Nombres rationnels

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme \( \frac{p}{q} \) avec \( p, q \in \mathbb{Z} \) et \( q \neq 0 \).

Exemples : \( \frac{3}{4}, -7, 0, \frac{22}{7} \).

Propriété utile : la somme, la différence, le produit et le quotient (lorsque le dénominateur est non nul) de nombres rationnels est aussi rationnel. Par exemple, \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \).

Notion 2 · Nombres irrationnels

Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s’écrire sous la forme \( \frac{p}{q} \) avec \( p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0 \).

Exemples célèbres : \( \sqrt{2}, \pi, e \).

Exemple résolu : démonstration de l’irrationalité de \( \sqrt{2} \) par contradiction.

\[ \begin{align} \sqrt{2} &= \frac{a}{b}, \\ & a,b \in \mathbb{Z}, \\ \gcd(a,b)=1 \end{align} \]

\[ 2b^2 = a^2 \\ \text{donne que } a^2 \text{ est pair} \Rightarrow a \text{ est pair} \Rightarrow a=2k \]

\[ 4k^2 = 2b^2 \Rightarrow b^2 = 2k^2 \Rightarrow b \text{ est pair} \]

À partir de là, \( a \) et \( b \) seraient tous deux pairs, contredisant \( \gcd(a,b)=1 \). Donc \( \sqrt{2} \) est irrationnel.

Autres irrationnels : \( \sqrt{3}, \pi, \text{ et bien d’autres} \). Notez que certaines combinaisons de nombres irrationnels peuvent donner des résultats rationnels (par exemple, \( \sqrt{2} + (2 - \sqrt{2}) = 2 \)).

Exemples résolus

Étape 1 : Rappel des définitions de rationnel et d’irrationnel.

Étape 2 : Exemple d’irrationnel simple et démonstration rapide (voir démonstration ci‑dessus).

Schéma explicatif

Erreurs fréquentes

Confondre rationnel et non‑entier; s’écrire comme un rapport n’est pas suffisant pour être rationnel.
Croire qu’un nombre non entier est irrationnel sans justification.
Utiliser des décimales finies ou périodiques comme preuve d’irrationalité sans démonstration arithmétique.

Mini-quiz de vérification

Lequel des nombres suivants est irrationnel ?

Réponse: π est irrationnel car il ne peut pas s’écrire comme le rapport de deux entiers.

Cartes mémo

Nombres rationnels

Rapport de deux entiers, dénominateur non nul; écriture finie ou répétée en décimale

Nombres irrationnels

Non exprimables sous forme de rapport p/q; décimale non périodique

Exemples

√2, π, e

Propriété utile

La somme de rationnels est rationnelle; la somme d’un irrationnel et d’un rationnel peut être rationnelle ou irrationnelle

Récapitulatif

Notions clés : les nombres rationnels sont les rapports d’entiers; les irrationnels ne peuvent pas être écrits comme tels et leurs décimales ne se répètent pas nécessairement. Des exemples célèbres incluent \( \sqrt{2} \) et \( \pi \).

Récapitulatif final

Les irrationnels élargissent le continuum réel au-delà des fractions: on rencontre des exemples simples comme \( \sqrt{2} \) et des nombres fondamentaux comme \( \pi \). Savoir les reconnaître passe par l’étude de leurs écritures et des méthodes de démonstration.