Nombres rationnels et irrationnels - Nombres irrationnels : exemples et propriétés – Mathematiques

Le cours en une phrase simple.

Objectifs

Différencier les nombres rationnels et irrationnels.
Donner des exemples et des propriétés simples des irrationnels.
Justifier l irrationnalité de certains nombres célèbres.

Notions clés

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme \(\\frac{p}{q}\) avec p et q entiers et q ≠ 0. Les nombres irrationnels, eux, ne peuvent pas être écrits sous cette forme. On note généralement \(\\mathbb{Q}\) l'ensemble des nombres rationnels et \(\\mathbb{R}\) l'ensemble des nombres réels, qui contient les irrationnels.

Propriétés simples

On a par exemple: \(\mathbb{Q}\) est un sous-ensemble de \(\mathbb{R}\).

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie?

Le nombre \(\pi\) est rationnel.
Le nombre \(\sqrt{2}\) est irrationnel.
Le nombre \(1/2\) est irrationnel.

C'est la proposition 2: \(\sqrt{2}\) est irrationnel.

Exemples inline: \(\pi\) est irrationnel et \(e\) est irrationnel; mais \(\sqrt{4}=2\) est rationnel.

Les nombres irrationnels célèbres: \(\pi\), \(\sqrt{2}\), et \(e\).

Définition de base: un nombre réel est soit rationnel soit irrationnel; il n'existe pas d'autre catégorie dans \(\mathbb{R}\).

Exemples résolus

Preuve de l'irrationalité de \(\sqrt{2}\) (idée générale, version courte):

\[\begin{align}\\n \sqrt{2} &= \frac{p}{q}, \\text{avec } p,q \in \mathbb{Z}, \gcd(p,q)=1\\n 2p^{2} &= q^{2}, \\n q^{2} \text{ est pair } &\Rightarrow q \text{ est pair} \\n \Rightarrow p \text{ est pair} &\Rightarrow p = 2k \\n \Rightarrow \frac{p}{q} &= \frac{2k}{2m} = \frac{k}{m} \\n \Rightarrow \gcd(p,q)=1 &\Rightarrow contradiction \\n \end{align}\]

Conclusion: \(\sqrt{2}\) est irrationnel.

Étape 1: supposer que \(\sqrt{2}=p/q\) avec gcd(p,q)=1.

Étape 2: dériver que \(q\) est pair.

Étape 3: déduire que \(p\) est pair et obtenir une contradiction avec gcd(p,q)=1.

Propriétés utiles

Somme d'un rationnel et d'un irrationnel: irrationnel.
Produit d'un rationnel non nul et d'un irrationnel: irrationnel.
Somme de deux irrationnels peut être rationnelle (ex. \(\sqrt{2} + (2-\sqrt{2}) = 2\)).
Le quotient de deux irrationnels peut être rationnel (ex. \(\sqrt{2}/\sqrt{2} = 1\)).

Formules clés: \(\mathbb{Q}\) = rationnels, \(\mathbb{R}\) = réels, \(\sqrt{n}\) pour n entier positif.

Quelle affirmation est vraie?

La somme de deux irrationnels est toujours irrationnelle.
Le produit d'un nombre rationnel non nul et d'un irrationnel est irrationnel.
Le quotient de deux irrationnels est toujours irrationnel.

Réponse 2: le produit d'un rationnel non nul et d'un irrationnel est irrationnel.

Récapitulatif

Les rationnels s'écrivent comme \(\\frac{p}{q}\) avec p, q entiers et q ≠ 0.
Les irrationnels ne peuvent pas être écrits sous cette forme.
Exemples: \(\\sqrt{2}\), \(\\pi\), \(e\).
Propriétés simples: somme de rationnel et irrationnel est irrationnelle; produit d'un rationnel non nul et d'un irrationnel est irrationnel.

Cartes mémo

Rationnels

Nombre exprimable comme p/q, p,q ∈ Z, q ≠ 0

Irrationnels

Non exprimables sous forme de quotient

Exemples

π, √2, e