Nombres rationnels et irrationnels — Nombres rationnels : définitions et écritures

Apprendre à identifier et écrire les nombres rationnels, et distinguer les irrationnels.

Objectifs

Comprendre ce qu’est un nombre rationnel et comment l’écrire sous forme de fraction.
Connaître les formes d’écriture: fraction \(a/b\) et décimale finie ou périodique.
Savoir convertir entre écriture fraction et écriture décimale dans des cas simples.

Le nombre 3/5 est rationnel :

C’est un ratio de deux entiers, donc rationnel.

Définition: Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme \( \(\\frac{a}{b}\)\) avec \(a\) et \(b\) entiers et \(b \\neq 0\).

Forme générale: \(\\frac{a}{b}\) avec a, b ∈ Z et b ≠ 0. Si gcd(a,b) = 1 alors la fraction est irréductible.

1) Convertir \(0.75\) en fraction: \(0.75 = \(\\frac{75}{100}\) = \(\\frac{3}{4}\).

Étape 1: écrire le décimal sous forme de fraction: \(0.75 = \(\\frac{75}{100}\)\).

Étape 2: simplifier par le PGCD de 75 et 100, qui est 25: \(\\frac{75}{100} = \(\\frac{3}{4}\).

2) Démonstration que \(0.\overline{3} = \(\\frac{1}{3}\):

Soit x = \(0.\\overline{3}\). Alors 10x = \(3.\\overline{3}\).

Soustrayant: \(9x = 3\) donc \(x = \(\\frac{1}{3}\).

Confondre le signe du dénominateur et du numérateur lors de la simplification.
Écrire une écriture rationnelle avec b = 0 (indéterminé).
Penser qu’un nombre décimal périodique n’est pas rationnel; en réalité, tout décimal périodique est rationnel.

Rationnel: s’écrit \( \(\\frac{a}{b}\) \) avec a, b entiers et \(b \\neq 0\).
Décimale finie: se termine après un nombre fini de chiffres; décimale périodique: se répète indéfiniment.
Pour tout nombre rationnel, il existe une écriture unique sous forme irréductible \( \(\\frac{a}{b}\) \) avec gcd(a,b)=1.

Notion

Nombres rationnels: écriture \(\\frac{a}{b}\) avec a, b ∈ Z et b ≠ 0; écriture irréductible si gcd(a,b)=1.

Forme décimale

Rationnels: décimales finies ou répétées.

Point clé

Tout décimal périodique est rationnel.

Le nombre 0.25 est rationnel.

Oui, car \(0.25 = \frac{1}{4}\).