Objectifs

• Reconnaître un nombre rationnel et ses différentes écritures.
• Trouver l'écriture décimale d'un rationnel (exacte ou périodique).
• Placer un rationnel sur une droite graduée et l'encadrer.
• Intercaler un rationnel entre deux autres.
• Utiliser l'opposé et l'inverse, et résoudre un problème de fractions.

1. Qu'est-ce qu'un nombre rationnel ?

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme \(\dfrac{a}{b}\), où \(a\) et \(b\) sont des entiers relatifs et \(b \neq 0\). L'ensemble des nombres rationnels se note \(\mathbb{Q}\).

• Tout entier relatif est rationnel : \(-3 = \dfrac{-3}{1}\).
• Tout décimal est rationnel : \(0{,}25 = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}\).
• Un même rationnel a plusieurs écritures : \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{10}{15}\). L'écriture où numérateur et dénominateur n'ont plus de diviseur commun (autre que 1) est l'écriture irréductible.
• Le signe : \(\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = -\dfrac{a}{b}\) et \(\dfrac{-a}{-b} = \dfrac{a}{b}\).

L'écriture décimale d'un rationnel

On obtient l'écriture décimale de \(\dfrac{a}{b}\) en divisant \(a\) par \(b\). Deux cas se présentent :

• la division s'arrête : le rationnel est un décimal, par exemple \(\dfrac{3}{8} = 0{,}375\) ;
• la division ne s'arrête pas et un groupe de chiffres se répète (une période) : \(\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots\) et \(\dfrac{2}{11} = 0{,}181818\ldots\)

Exemple résolu 1 : écriture décimale

Donne l'écriture décimale de \(\dfrac{7}{4}\) et de \(\dfrac{5}{6}\).

2. Placer un rationnel sur une droite graduée

Pour placer \(\dfrac{a}{b}\) (avec \(b\) positif) sur une droite graduée : on partage chaque unité en \(b\) parts égales, puis on compte \(a\) parts à partir de 0, vers la droite si \(a\) est positif, vers la gauche s'il est négatif.

Encadrer un rationnel

Encadrer \(\dfrac{a}{b}\), c'est trouver deux nombres proches, l'un plus petit, l'autre plus grand. On s'aide de l'écriture décimale.

Exemple résolu 2 : encadrer \(\frac{17}{6}\)

Encadre \(\dfrac{17}{6}\) entre deux entiers consécutifs, puis au dixième près.

Intercaler un rationnel

Entre deux rationnels différents, il y a toujours un autre rationnel : par exemple leur moyenne \(\dfrac{x + y}{2}\). On peut donc toujours en intercaler un nouveau, aussi proches soient-ils.

Exemple résolu 3 : un nombre entre \(\frac{1}{3}\) et \(\frac{1}{2}\)

3. Opposé, inverse et problèmes

• L'opposé de \(\dfrac{a}{b}\) est \(-\dfrac{a}{b}\) : leur somme vaut 0.
• L'inverse de \(\dfrac{a}{b}\) (avec \(a \neq 0\)) est \(\dfrac{b}{a}\) : leur produit vaut 1. Par exemple, l'inverse de \(-\dfrac{2}{5}\) est \(-\dfrac{5}{2}\), car \(-\dfrac{2}{5} \times \left(-\dfrac{5}{2}\right) = 1\).
• 0 n'a pas d'inverse.
• Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse :

Exemple résolu 4 : les verres d'Aïcha

Exemple résolu 5 : l'argent de poche de Moussa

Moussa, à Lomé, reçoit 15 000 F CFA. Il dépense \(\dfrac{2}{5}\) de cette somme en fournitures, puis \(\dfrac{1}{3}\) de ce qui lui reste en transport. Quelle fraction de la somme a-t-il dépensée ? Combien lui reste-t-il ?

Erreurs fréquentes

• Croire que \(0{,}67\) est égal à \(\dfrac{2}{3}\) : ce n'est qu'une valeur approchée.
• Sur la droite graduée, partager l'unité selon le numérateur au lieu du dénominateur.
• Placer \(-\dfrac{5}{3}\) entre 0 et −1 : il est entre −1 et −2.
• Confondre opposé et inverse, ou changer le signe en prenant l'inverse.
• Chercher l'inverse de 0, qui n'existe pas.
• Dans un problème, prendre une fraction « du reste » comme une fraction du total.

Récapitulatif

Un rationnel s'écrit \(\frac{a}{b}\) avec \(a\), \(b\) entiers et \(b \neq 0\) ; son écriture décimale s'arrête (décimal) ou se répète (périodique). Pour le placer, on partage l'unité en \(b\) parts. On l'encadre grâce à son écriture décimale, et entre deux rationnels on en trouve toujours un autre. L'opposé donne une somme nulle, l'inverse un produit égal à 1 ; diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.