Nombres réels et calculs

1. Qu'est-ce qu'un nombre réel ?

Les nombres réels comprennent tous les nombres que l'on peut représenter sur une droite graduée. Ils incluent :

• Les nombres rationnels : qui s'écrivent sous la forme d'une fraction \(rac{a}{b}\) avec \(a\) et \(b\) entiers et \(b eq 0\).
• Les nombres irrationnels : qui ne peuvent pas s'écrire sous cette forme, comme \(\sqrt{2}\) ou \(\pi\).

2. La droite numérique

La droite numérique est une représentation graphique de l'ensemble des nombres réels. Chaque point correspond à un nombre réel :

3. Définition et propriétés des nombres réels

• Réalité : Les nombres réels permettent de représenter des quantités continues.
• Propriété d'ordonnancement : pour deux nombres \(a\) et \(b\), on peut dire si \(a < b\), \(a = b\) ou \(a > b\).
• Complétude : toute suite croissante bornée converge vers un nombre réel.

4. Opérations sur les nombres réels

Les principales opérations sont :

• l'addition : \(a + b\)
• la soustraction : \(a - b\)
• la multiplication : \(a imes b\)
• la division : \(rac{a}{b}\) avec \(b eq 0\)

5. Extraction de racines et puissance

Les racines, comme la racine carrée, et les puissances sont aussi des opérations courantes :

• Racine carrée : \(\sqrt{a}\), pour \(a \geq 0\)
• Puissance : \(a^n\), avec \(n\) entier naturel

6. Notion d'intervalle

Un intervalle désigne un ensemble de nombres compris entre deux bornes :

• Intervalle fermé : \([a, b]\) inclut ses bornes.
• Intervalle ouvert : \((a, b)\) n'inclut pas ses bornes.

Les intervalles permettent de définir des ensembles de nombres réels dans divers contextes.