Nombres Réels et Intervalles

1. Les ensembles de nombres

• Ensemble ℝ : tous les nombres qui peuvent être représentés sur la droite numérique, appelés nombres réels.
• Ensemble ℚ : tous les nombres rationnels, c'est-à-dire ceux qui peuvent s'écrire sous la forme d'un fraction p/q avec p et q entiers et q ≠ 0. Exemples : 1/2, -3, 0, 4.75.
• Ensemble 𝔻 (dénominateurs irrationnels) : concerne principalement les nombres irrationnels, souvent notés par la lettre R pour indiquer leur appartenance à l'ensemble des nombres réels.

2. Les nombres irrationnels

Ce sont des nombres qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction exacte (p/q). Ils ont une expansion décimale infinie non périodique.

• Exemples importants :
  • √2 : la racine carrée de 2, qui est irrationnelle car il n'existe pas de nombre rationnel dont le carré soit 2.
  • π : le nombre pi, représentant le rapport entre la circonférence et le diamètre d'un cercle, est irrationnel.

3. Intervalles dans ℝ

Un intervalle est une partie continue de la droite numérique. Il peut être :

• Intervalle ouvert : (a, b) = {x ∈ ℝ | a < x < b} ;
  n'exclut pas les extrémités a et b.
• Intervalle fermé : [a, b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} ;
  inclut les extrémités.
• Intervalle semi-ouvert : [a, b) ou (a, b] ;
  inclut une extrémité mais pas l'autre.

4. Résumé

Les nombres réels ℝ comprennent tous les rationnels ℚ ainsi que de nombreux irrationnels tels que √2 ou π. On peut représenter tous ces nombres sur la droite numérique. Les intervalles permettent de définir des segments de cette droite selon différents critères d'inclusion ou d'exclusion de leurs extrémités.