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Nombres Réels et Intervalles : Concepts Fondamentaux

2ndeMathematiquesNombres réels et intervallesEnsemble ℝ, ℚ, 𝔻 ; irrationnels comme √2 ou π~3 min de lecture

Nombres réels et intervalles

Le cours présente les ensembles ℝ, ℚ et 𝔻 et les irrationnels comme \(\sqrt{2}\) et \(\pi\).

Objectifs

  • Comprendre les notions d'ensemble des nombres réels, rationnels et irrationnels.
  • Savoir écrire et interpréter des intervalles et des ensembles sur la droite réelle.
  • Connaître quelques propriétés simples (ℚ est dénombrable, 𝔻 est irrationnel, etc.).

Notions clés

Ensembles : On distingue notamment les ensembles \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{Q}\) et 𝔻 (irrationnels). \(\mathbb{R}\) est l’ensemble des nombres réels, qui comble la droite réelle. \(\mathbb{Q}\) est l’ensemble des nombres rationnels (peuvent s’écrire sous forme de fractions). 𝔻 est l’ensemble des nombres réels qui ne se représentent pas par une fraction, c’est-à-dire les irrationnels. On peut écrire 𝔻 = \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

Quelques notations utiles : \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{Q}\) et 𝔻 (irrationnels) avec la relation \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) et 𝔻 = \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

Exemples résolus

Exemple 1 : Intervalle et écriture en notation d’ensemble

On considère l’intervalle ouvert \(]0,3[\) et l’intervalle fermé \([1,4]\). L’un est représenté par les nombres entre 0 et 3 sans les bornes, l’autre inclut 1 et 4.

Étape 1 : écrire les bornes et le type d’intervalle
Étape 2 : décrire l’ensemble sur la droite numérique
Voir la solution

Construction sur la droite réelle :

\(]0,3[ = \{ x \in \mathbb{R} : 0 < x < 3 \} \) et \([1,4] = \{ x \in \mathbb{R} : 1 \le x \le 4 \} \).

Exemple 2 : Irrationnel célèbre

Montrons que \(\sqrt{2}\) est irrationnel. Supposons que \(\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}\) en forme réduite; alors

Étape 1 : écrire \(2 = \dfrac{p^2}{q^2}\) et donc \(p^2 = 2q^2\).
Étape 2 : alors \(p^2\) est pair, donc \(p\) est pair, écrivons \(p = 2k\).
Étape 3 : remplaçant, on obtient \(4k^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2\), donc \(q\) est pair.
Étape 4 : ainsi p et q sont tous les deux pairs, contradiction avec la forme réduite.
Voir la solution

Conclusion : \(\sqrt{2}\) ne peut pas s’écrire sous forme \(\dfrac{p}{q}\) avec \(p,q\) entiers et premiers entre eux ; il est irrationnel.

Erreurs fréquentes

  • On croit que tous les nombres réels sont rationnels; en réalité il existe des irrationnels comme \(\sqrt{2}\) et \(\pi\).
  • On confond l’écriture en décimal et l’écriture en fraction.
  • On oublie la différence entre \(\mathbb{Q}\) et 𝔻 (irrationnels).
  • On pense que \(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup 𝔻\) est une union disjointe sans démonstration; en fait ce sont des ensembles disjoints dont l’union donne \(\mathbb{R}\).

Récapitulatif

  • ℝ : ensemble des nombres réels, représentés sur la droite réelle.
  • ℚ : ensemble des nombres rationnels, écrits sous forme de fractions.
  • 𝔻 : irrationnels; 𝔻 = \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).
  • Les intervalles se notent avec [a, b] ]a, b[, [a, b[ ]a, b].

Cartes mémo

Ensemble
ℝ — tous les nombres réels
Notion
ℚ — nombres rationnels
Notion
𝔻 — irrationalité (irrationnels)

Mini-quiz de vérification

Parmi les propositions suivantes, laquelle décrit le mieux les irrationnels ?

  1. Un nombre qui peut s’écrire comme une fraction.
  2. Un nombre qui ne peut pas s’écrire comme une fraction et qui n’a pas de décimal fini.
  3. Un nombre entier uniquement.
La réponse correcte est la deuxième, car les irrationnels ne se fractionnent pas et leurs décimales ne se répètent pas nécessairement.

Schéma de la droite réelle (figure)

Représentation des ensembles sur la droite réelle ℚ ℝ D (irrationnels) près de 0

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