Nombres réels et intervalles : Encadrement décimal et approximation

1. Introduction

Les nombres réels peuvent parfois être difficiles à représenter avec précision. Pour cela, on utilise des encadrements décimaux et des approximations afin d'obtenir une valeur approchée fiable.

2. Encadrement décimal

Un nombre réel \( x \) peut être encadré par deux nombres décimaux tels que :

• \( a \), inférieur ou égal à \( x \)
• \( b \), supérieur ou égal à \( x \)

On écrit alors :

\( a \leq x \leq b \)

Ce procédé permet d'approcher \( x \) avec une précision donnée en choisissant de petites différences entre \( a \) et \( b \).

3. Approximation décimale

L'approximation consiste à arrondir un nombre à un certain nombre de décimales :

• Arrondi à l'unité, dixième, centième, etc.
• Exemple : \( \pi pprox 3,14 \) (arrondi à deux décimales)

Plus le nombre de décimales augmente, plus notre approximation est précise.

4. Méthode pour encadrer un nombre

Supposons que nous voulons encadrer un nombre \( x \) avec une précision de 0,01 :

1. Définir la valeurapprochée \( ilde{x} \), par exemple en arrondissant.
2. Calculer un intervalle \([ ilde{x} - 0,005, ilde{x} + 0,005]\).
3. Ce qui garantit que \( x \) appartient à cet intervalle avec une telle précision.

5. Exemple

Calculons une approximation de \( \sqrt{2} \).

• On sait que \( 1,4^2 = 1,96 \) et \( 1,5^2 = 2,25 \).
• Donc, \( \sqrt{2} \) est entre 1,4 et 1,5.
• Une approximation plus précise : \( \sqrt{2} pprox 1,41 \).
• On encadre alors \( \sqrt{2} \) par : \( 1,405 \leq \sqrt{2} \leq 1,415 \).

6. Conclusion

Encadrer un nombre par des décimaux et utiliser l'approximation permettent de travailler plus efficacement avec des nombres réels, tout en maîtrisant la précision souhaitée.