Nombres réels et intervalles : Encadrement décimal et approximation

Introduction

En mathématiques, il est souvent nécessaire d'approcher un nombre réel par un nombre décimal pour simplifier sa lecture ou sa manipulation. Cela se fait à l'aide d'un encadrement décimal qui donne une fourchette dans laquelle le nombre se trouve.

Encadrement décimal

L'encadrement décimal consiste à représenter un nombre réel \(x\) par deux nombres décimaux proches :

li>borne inférieure : \(a\) telle que \(a \leq x\) li>borne supérieure : \(b\) telle que \(x \leq b\)

On écrira alors :

\(a \leq x \leq b\)

Approximation par truncation et arrondi

Pour donner un encadrement précis, on peut:

• Tronquer le nombre après un certain nombre de décimales : on garde seulement le nombre de décimales souhaité (par exemple, 2 décimales).
• Arrondir le nombre à un certain nombre de décimales : on ajuste le dernier chiffre selon la valeur suivante.

Exemple :

Soit \(x = 3,141592...\)

• Tronqué à 2 décimales : \(3,14\)
• Arrondi à 2 décimales : \(3,14\) ou \(3,14\) si la troisième décimale est inférieure à 5, sinon \(3,15\).

Calcul d'un encadrement

Supposons que nous avons un nombre \(x pprox 2,71828...\)

• Arrondi à 3 décimales :

\(x pprox 2,718\)

Le nombre est alors encadré par :

• borne inférieure : \(2,7175\) (si on tronque)
• borne supérieure : \(2,7185\) (si on arrondit)

Conclusion

L'encadrement décimal et l'approximation permettent de représenter un nombre réel par un intervalle précis, utile en sciences et techniques pour gérer l’incertitude et simplifier les calculs.