Nombres réels et intervalles : La distance entre deux réels

Introduction

Dans cette leçon, nous allons définir la notion de distance entre deux nombres réels et comprendre comment elle est utilisée en mathématiques.

Définition de la distance entre deux réels

La distance entre deux nombres réels \(a\) et \(b\), notée \(d(a, b)\), est une mesure de leur proximité. Elle se calcule ainsi :

Formule : \[ d(a, b) = |a - b| \]

Explication

• L'opérateur \(|x|\) désigne la valeur absolue de \(x\), c'est-à-dire la distance de \(x\) à 0 sur la droite numérique.
• Pour deux nombres \(a\) et \(b\), la distance \(d(a, b)\) correspond à la longueur du segment reliant ces deux points sur la droite numérique.

Exemples

1. Si \(a = 3\) et \(b = 7\), alors \(d(3, 7) = |3 - 7| = |-4| = 4\).
2. Si \(a = -2\) et \(b = 4\), alors \(d(-2, 4) = |-2 - 4| = |-6| = 6\).

Propriétés de la distance

• Elle est toujours positive ou nulle : \(d(a, b) \geq 0\).
• Elle est nulle si et seulement si \(a = b\).
• Elle est symétrique : \(d(a, b) = d(b, a)\).
• Elle satisfait l'inégalité triangulaire : pour tout \(a, b, c\), \[ d(a, c) \leq d(a, b) + d(b, c) \].

Utilité de la distance

La distance permet de comparer la proximité de deux nombres et de définir des notions de limite, de voisinage ou encore de contraction dans le contexte de l'analyse mathématique.

Conclusion

La distance entre deux nombres réels est un outil fondamental pour étudier la proximité et la convergence, et elle est basée sur la valeur absolue de leur différence.