Les nombres réels et la notion de distance

Introduction

En mathématiques, il est souvent utile de mesurer la différence ou la proximité entre deux nombres réels. Cette mesure est appelée distance.

Définition de la distance entre deux réels

La distance entre deux réels \(a\) et \(b\), notée \(d(a,b)\), est définie comme la valeur absolue de leur différence :

\(d(a,b) = |a - b|\)

Propriétés de la distance

• Elle est toujours positive ou nulle : \(d(a,b) \geq 0\).
• La distance est nulle si et seulement si \(a = b\) : \(d(a,b) = 0 \Leftrightarrow a = b\).
• Elle est symétrique : \(d(a,b) = d(b,a)\).
• Elle satisfait la propriété triangulaire : pour tout \(a, b, c\), \(\quad d(a,c) \leq d(a,b) + d(b,c)\).
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Exemples

1. Pour \(a=3\) et \(b=7\), \(\quad d(3,7) = |3 - 7| = 4\).
2. Pour \(a=-2\) et \(b=3\), \(\quad d(-2,3) = |-2 - 3| = 5\).

Application : mesurer la proximité

La distance permet de dire si deux nombres sont proches ou éloignés :

• Si \(d(a,b) \) est petite, alors \(a\) et \(b\) sont proches.
• Si \(d(a,b) \) est grande, alors ils sont éloignés.

Conclusion

La distance entre deux nombres réels est une façon simple mais fondamentale de quantifier leur proximité ou leur écart. Elle repose sur la valeur absolue de leur différence.