Nombres réels et intervalles

1. La valeur absolue

La valeur absolue d'un nombre réel \(x\), notée \(|x|\), représente sa distance à zéro sur la droite numérique. Elle est toujours positive ou nulle :

• \( |x| \geq 0 \)
• \( |x| = 0 \) si et seulement si \( x = 0 \)

Exemples :

• \( |3| = 3 \)
• \( |-4| = 4 \)
• \( |0| = 0 \)

2. Notion d'intervalle de type \([a - r, a + r]\)

Un intervalle de la forme \([a - r, a + r]\), avec \(a \in \mathbb{R}\) et \( r > 0 \), est un intervalle fermé centré en \(a\) de rayon \(r\). Il représente tous les nombres dont la distance à \(a\) est inférieure ou égale à \( r \).

Autrement dit, \(orall x \in [a - r, a + r]\), on a :

3. Relation entre valeur absolue et l'intervalle \([a - r, a + r]\)

Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), l'appartenance à l'intervalle \([a - r, a + r]\) est équivalente à :

Ce qui signifie que la distance entre \(x\) et \(a\) doit être inférieure ou égale à \(r\).

4. Résolution d'une inéquation avec valeur absolue

Exemple : résoudre \(\ |\!x - a|\leq r \).

Solution :

• écrire la double inéquation : \(-r \leq x - a \leq r\)
• ajouter \(a\) à chaque membre : \(a - r \leq x \leq a + r\)
• résultat : \(x \in [a - r, a + r]\)

Ce résultat montre que l'ensemble des solutions est l'intervalle autour de \(a\) de rayon \(r\).