Nombres relatifs : représentation

Un nombre relatif, c'est un nombre avec un signe + ou − qui dit de quel côté de zéro on se trouve : on le place sur une droite graduée, on le compare, et avec deux nombres relatifs on repère un point dans le plan.

Objectifs

Reconnaître et écrire un nombre relatif : signe et distance à zéro.
Trouver l'opposé d'un nombre relatif.
Placer un point sur une droite graduée et lire son abscisse.
Comparer et ranger des nombres relatifs.
Placer un point dans un repère du plan et lire ses coordonnées.

1. Qu'est-ce qu'un nombre relatif ?

Notions clés

Un nombre positif s'écrit avec le signe \(+\) ou sans signe : \(+5 = 5\).
Un nombre négatif s'écrit toujours avec le signe \(-\) : \(-5\), \(-2{,}5\).
Les nombres positifs et les nombres négatifs forment les nombres relatifs.
Le nombre \(0\) est à la fois positif et négatif : on l'écrit sans signe.

Un nombre relatif est formé de deux parties : un signe et une distance à zéro (le nombre sans son signe). Par exemple, \(-7{,}2\) a pour signe \(-\) et pour distance à zéro \(7{,}2\).

Les nombres opposés

Deux nombres sont opposés s'ils ont la même distance à zéro et des signes contraires. L'opposé de \(4\) est \(-4\) ; l'opposé de \(-2{,}3\) est \(2{,}3\) ; l'opposé de \(0\) est \(0\).

Exemple résolu 1

Pour chaque nombre \(-12\) ; \(+6{,}5\) ; \(-0{,}8\), donne son signe, sa distance à zéro et son opposé. Cherche d'abord.

Voir la solution

\(-12\) : signe \(-\), distance à zéro \(12\), opposé \(12\).
\(+6{,}5\) : signe \(+\), distance à zéro \(6{,}5\), opposé \(-6{,}5\).
\(-0{,}8\) : signe \(-\), distance à zéro \(0{,}8\), opposé \(0{,}8\).

Quel est l'opposé de \(-9\) ?

\(-9\)
\(0\)
\(9\)

L'opposé a la même distance à zéro (\(9\)) et le signe contraire : c'est \(+9\), donc \(9\).

Un plongeur est à \(15\ \mathrm{m}\) sous la surface de la mer. Quel nombre relatif représente son altitude ?

\(15\)
\(-15\)
\(0\)

Le niveau de la mer est l'altitude \(0\). Sous la surface, l'altitude est négative : \(-15\ \mathrm{m}\).

2. La droite graduée et l'abscisse

Notions clés

Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi :

une origine \(O\), qui correspond au nombre \(0\) ;
un sens (en général vers la droite) ;
une unité de longueur, reportée régulièrement.

Les nombres positifs sont à droite de \(O\), les nombres négatifs à gauche. Chaque point de la droite correspond à un nombre relatif, appelé son abscisse. On écrit \(A(3)\) pour dire « le point \(A\) a pour abscisse \(3\) ».

Placer des points pas à pas

Étape 1 : \(A\) a pour abscisse \(3\), nombre positif : on compte 3 unités vers la droite à partir de \(O\).

Étape 2 : \(B\) a pour abscisse \(-2\), nombre négatif : on compte 2 unités vers la gauche.

Étape 3 : \(C\) a pour abscisse \(-4{,}5\) : 4 unités et demie vers la gauche, au milieu entre \(-4\) et \(-5\).

Étape 4 : le point \(A'\) d'abscisse \(-3\), opposé de \(3\), est le symétrique de \(A\) par rapport à \(O\) : même distance à zéro, de l'autre côté.

Exemple résolu 2

Sur une droite graduée, l'unité est représentée par deux carreaux. Le point \(E\) est situé à 7 carreaux à gauche de l'origine. Quelle est son abscisse ? Cherche d'abord.

Une unité = 2 carreaux, donc 1 carreau = \(0{,}5\) unité.

7 carreaux représentent \(7 \times 0{,}5 = 3{,}5\) unités : c'est la distance à zéro.

\(E\) est à gauche de l'origine : son abscisse est négative.

Conclusion : \(E(-3{,}5)\).

Sur une droite graduée orientée vers la droite, où se trouve le point d'abscisse \(-6\) ?

À 6 unités à gauche de l'origine.
À 6 unités à droite de l'origine.
Sur l'origine.

Les nombres négatifs sont à gauche de l'origine ; la distance à zéro de \(-6\) est \(6\).

3. Comparer et ranger des nombres relatifs

Notions clés

Sur une droite graduée orientée vers la droite, le plus grand nombre est celui qui est le plus à droite. On en déduit trois règles :

Un nombre positif est toujours plus grand qu'un nombre négatif : \(-15 < 2\).
Entre deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro : \(3{,}8 < 7\).
Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro : \(-7 < -3{,}8\).

Exemple résolu 3

Range dans l'ordre croissant : \(4\) ; \(-1{,}5\) ; \(0\) ; \(-6\) ; \(2{,}5\) ; \(-1\). Cherche d'abord.

On sépare les négatifs \((-1{,}5 ; -6 ; -1)\), le zéro, et les positifs \((4 ; 2{,}5)\).

Négatifs : le plus petit a la plus grande distance à zéro, donc \(-6 < -1{,}5 < -1\).

Positifs : \(2{,}5 < 4\).

\[-6 < -1{,}5 < -1 < 0 < 2{,}5 < 4\]

Quelle comparaison est juste ?

\(-5 > -1\)
\(-5 < -1\)
\(-5 = -1\)

\(-5\) est plus à gauche que \(-1\) sur la droite graduée (sa distance à zéro est plus grande), donc \(-5 < -1\).

Un soir d'harmattan, il fait \(14\ ^{\circ}\mathrm{C}\) à Agadez ; dans un congélateur il fait \(-18\ ^{\circ}\mathrm{C}\) et dans un réfrigérateur \(4\ ^{\circ}\mathrm{C}\). Quel est le classement du plus froid au plus chaud ?

\(4 ; 14 ; -18\)
\(-18 ; 14 ; 4\)
\(-18 ; 4 ; 14\)

Ordre croissant : \(-18 < 4 < 14\). Le congélateur est le plus froid.

4. Se repérer dans le plan

Notions clés

Un repère du plan est formé de deux droites graduées perpendiculaires qui se coupent en leur origine commune \(O\) :

l'axe des abscisses, horizontal ;
l'axe des ordonnées, vertical.

Chaque point \(M\) est repéré par un couple de nombres relatifs appelés ses coordonnées : d'abord l'abscisse (lue sur l'axe horizontal), puis l'ordonnée (lue sur l'axe vertical). On écrit \(M(x\,;\,y)\). L'origine a pour coordonnées \(O(0\,;\,0)\).

Exemple résolu 4

Comment placer le point \(A(3\,;\,2)\), puis le point \(C(-4\,;\,-2)\) ? Cherche d'abord.

Pour \(A(3\,;\,2)\) : on part de \(O\), on avance de 3 unités vers la droite (abscisse positive)…

… puis on monte de 2 unités (ordonnée positive). On marque le point \(A\).

Pour \(C(-4\,;\,-2)\) : on part de \(O\), on va de 4 unités vers la gauche (abscisse négative)…

… puis on descend de 2 unités (ordonnée négative). On marque le point \(C\).

À toi : nomme les points

Dans le repère ci-dessous (une graduation = une unité), place les étiquettes sur les bons points sachant que \(A(3\,;\,2)\), \(B(-2\,;\,3)\), \(C(-4\,;\,-2)\) et \(D(2\,;\,-3)\).

Le point \(P\) est à 5 unités à gauche de l'axe des ordonnées et à 1 unité au-dessus de l'axe des abscisses. Quelles sont ses coordonnées ?

\(P(-5\,;\,1)\)
\(P(1\,;\,-5)\)
\(P(5\,;\,-1)\)

À gauche : abscisse négative \(-5\) ; au-dessus : ordonnée positive \(1\). L'abscisse s'écrit en premier : \(P(-5\,;\,1)\).

Récapitulatif

Un nombre relatif a un signe et une distance à zéro ; les positifs et les négatifs forment les nombres relatifs.
Deux nombres opposés ont la même distance à zéro et des signes contraires.
Sur une droite graduée, chaque point a une abscisse ; les positifs sont à droite de l'origine, les négatifs à gauche.
Le plus grand de deux nombres est le plus à droite ; entre deux négatifs, le plus grand a la plus petite distance à zéro.
Dans un repère du plan, un point est repéré par ses coordonnées \((x\,;\,y)\) : abscisse d'abord, ordonnée ensuite.

Cartes mémo

Nombre relatif

Nombre positif ou négatif, formé d'un signe et d'une distance à zéro, comme \(-7{,}2\).

Nombres opposés

Même distance à zéro, signes contraires : \(5\) et \(-5\).

Abscisse

Nombre relatif qui repère un point sur une droite graduée : \(A(3)\).

Comparer deux négatifs

Le plus grand a la plus petite distance à zéro : \(-7 < -3\).

Coordonnées

Couple \((x\,;\,y)\) : abscisse sur l'axe horizontal, puis ordonnée sur l'axe vertical.