Calcul vectoriel et produit scalaire : norme, angle, orthogonalité

La norme mesure la longueur d’un vecteur, le produit scalaire mesure à quel point deux vecteurs « tirent dans le même sens », et il vaut zéro exactement quand ils sont perpendiculaires.

Objectifs

Calculer la norme d’un vecteur et la distance entre deux points dans un repère orthonormé.
Calculer un produit scalaire avec les normes et l’angle, avec les coordonnées ou avec une projection.
Déterminer la mesure d’un angle à partir d’un produit scalaire.
Démontrer que deux vecteurs, deux droites ou les côtés d’un triangle sont orthogonaux.

Dans tout le cours, le plan est muni d’un repère orthonormé \((O ; \vec{i}, \vec{j})\).

1. La norme d’un vecteur

La norme d’un vecteur \(\vec{u}\), notée \(\|\vec{u}\|\), est sa longueur. Si \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) dans un repère orthonormé, le théorème de Pythagore donne :

Exemple résolu

Soit \(\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\), \(A(1 ; 2)\) et \(B(-5 ; 10)\). Calcule \(\|\vec{u}\|\) et \(AB\). Cherche d’abord.

Norme de \(\vec{u}\) : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).

Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) : \(\begin{pmatrix} -5 - 1 \\ 10 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \end{pmatrix}\).

Distance : \(AB = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\).

Quelle est la norme du vecteur \(\vec{v}\begin{pmatrix} 5 \\ -12 \end{pmatrix}\) ?

\(7\)
\(13\)
\(\sqrt{119}\)

\(\sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\).

2. Le produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) non nuls est le nombre :

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v}) \]

Si l’un des vecteurs est nul, \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). En repère orthonormé, avec \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\) :

Fais varier les normes \(a\) et \(b\) des deux vecteurs : la courbe donne le produit scalaire selon l’angle (en degrés, de 0 à 180). Observe le signe et la valeur à 90°.

Le produit scalaire est positif pour un angle aigu, nul pour un angle droit, négatif pour un angle obtus, et maximal (égal à \(ab\)) quand les vecteurs ont même sens.

Interprétation par la projection

On trace la perpendiculaire à (AB) passant par C : elle coupe (AB) en H, projeté orthogonal de C.

Le segment [AH] est l’« ombre » de [AC] sur la droite (AB), comme l’ombre d’un poteau à midi.

Si H est du même côté que B par rapport à A, le produit scalaire vaut AB × AH ; sinon, il vaut moins AB × AH.

Exemple résolu

Soit \(\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}\). Calcule \(\vec{u} \cdot \vec{v}\). Puis, sachant que \(\|\vec{a}\| = 4\), \(\|\vec{b}\| = 3\) et que l’angle entre eux mesure \(60^\circ\), calcule \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).

Voir la solution

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times (-1) + 1 \times 3 = -2 + 3 = 1 \] \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \times 3 \times \cos 60^\circ = 12 \times \frac{1}{2} = 6 \]

Avec \(\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}\), que vaut \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) ?

\(14\)
\(\begin{pmatrix} 4 \\ -10 \end{pmatrix}\)
\(-6\)

\(4 \times 1 + (-2) \times 5 = 4 - 10 = -6\). Le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur.

3. Calculer un angle

En égalant les deux expressions du produit scalaire, on obtient, pour \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) non nuls :

\[ \cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|} = \frac{x x' + y y'}{\sqrt{x^2 + y^2} \times \sqrt{x'^2 + y'^2}} \]

La calculatrice (touche \(\cos^{-1}\), en mode degrés) donne ensuite l’angle, entre \(0^\circ\) et \(180^\circ\).

Exemple résolu

Mesure de l’angle entre \(\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}\). Cherche d’abord.

Produit scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 0 + 1 \times 3 = 3\).

Normes : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\) et \(\|\vec{v}\| = \sqrt{0 + 9} = 3\).

Cosinus : \(\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{3}{3\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Angle : \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \cos 45^\circ\), donc l’angle mesure \(45^\circ\).

Si \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -5\), \(\|\vec{u}\| = 2\) et \(\|\vec{v}\| = 5\), l’angle entre les deux vecteurs mesure :

\(120^\circ\)
\(60^\circ\)
\(30^\circ\)

\(\cos = \frac{-5}{2 \times 5} = -\frac{1}{2}\), ce qui correspond à \(120^\circ\). Un produit scalaire négatif annonce un angle obtus.

4. L’orthogonalité

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si l’un est nul ou si leurs directions sont perpendiculaires. On note \(\vec{u} \perp \vec{v}\).

Exemples résolus

a) Le triangle \(ABC\) avec \(A(1 ; 1)\), \(B(4 ; 2)\), \(C(0 ; 4)\) est-il rectangle en \(A\) ?

b) Pour quelle valeur de \(m\) les vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} m \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ -6 \end{pmatrix}\) sont-ils orthogonaux ?

Voir la solution

a) \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}\).

\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \times (-1) + 1 \times 3 = -3 + 3 = 0 \]

Les vecteurs sont orthogonaux : le triangle est rectangle en \(A\).

b) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3m + 2 \times (-6) = 3m - 12\).

\[ 3m - 12 = 0 \iff m = 4 \]

Lesquels de ces vecteurs sont orthogonaux ?

\(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)

\(2 \times 6 + (-3) \times 4 = 12 - 12 = 0\). La première paire est colinéaire (même direction), la troisième donne \(3\).

Erreurs fréquentes

Écrire le produit scalaire comme un vecteur : c’est toujours un nombre.
Utiliser \(\sqrt{x^2 + y^2}\) dans un repère qui n’est pas orthonormé.
Oublier le signe moins quand le projeté \(H\) est du côté opposé à \(B\).
Laisser la calculatrice en radians pour trouver un angle en degrés.
Écrire \(\sqrt{x^2 + y^2} = x + y\) : c’est faux, \(\sqrt{9 + 16} = 5\) et non \(7\).

Récapitulatif

Dans un repère orthonormé : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\) ; \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\vec{u}, \vec{v}) = x x' + y y'\) ; on en tire le cosinus de l’angle ; et \(\vec{u} \perp \vec{v}\) exactement quand \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).

Norme de u(x ; y)

\(\sqrt{x^2 + y^2}\), la longueur du vecteur.

Produit scalaire avec l’angle

\(\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})\)

Produit scalaire avec les coordonnées

\(x x' + y y'\) en repère orthonormé.

Cosinus de l’angle

\(\dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|}\)

Orthogonalité

\(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)