Notion de dérivée et règles de base
2ndeMathematiquesDérivées et taux de variationNotion de dérivée et règles de base~2 min de lecture
Notion de dérivée et règles de base
La dérivée d'une fonction mesure la rapidité de son changement en un point.
Objectifs
- Comprendre ce qu'est la dérivée d'une fonction.
- Apprendre à calculer la dérivée de fonctions simples.
- Découvrir les règles de dérivation de base.
Notions clés
Exemples résolus
Calcul de la dérivée de \(f(x) = x^2\)
On utilise la définition :
Calcul du taux de variation :
\[\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h\]
Limite lorsque \(h \to 0\) :
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x\]
Règle de dérivation de la somme :
Pour deux fonctions \(u(x)\) et \(v(x)\), la dérivée de leur somme est :
\[ (u+v)'(x) = u'(x) + v'(x) \]
Règles de base
Règle de puissance :
Pour toute fonction \(x^n\) avec \(n\) un nombre réel :
\[ \frac{d}{dx} \left( x^n \right) = n \times x^{n-1} \]
Règle de la dérivée d'une constante :
Une constante \(c\) a pour dérivée :
\[ \frac{d}{dx} \left( c \right) = 0 \]
Mini-quiz
Quelle est la dérivée de \(f(x) = 3x^3\) ?
La règle de puissance donne \[ \frac{d}{dx} 3x^3 = 3 \times 3x^{2} = 9x^{2} \]
Cartes mémo
La dérivée
La limite du taux de variation quand l'intervalle tend vers zéro.
Règle de puissance
\[ \frac{d}{dx} x^n = n \times x^{n-1} \]
Constante
La dérivée d'une constante est zéro : \[ \frac{d}{dx} c = 0 \]
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