Objectifs

• Comprendre ce qu'est la dérivée d'une fonction.
• Appliquer les règles de dérivation de base : dérivée d'une somme, d'un produit par une constante, d'une puissance, etc.
• Savoir utiliser la dérivée pour étudier la variation d'une fonction.

Notions clés

La définition informelle

La dérivée d'une fonction \(f\) en un point \(x\) est la limite, si elle existe, de \[ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \] lorsque \happroche 0. Elle représente le taux de variation instantané de \(f\) en ce point.

Notations courantes

• \(f'\)(x), aussi notée \(\frac{df}{dx}\) : la notation la plus utilisée.
• \( \text{d}f \) : différentielle de \(f\), souvent pour faire des approximations.

Règles de base de dérivation

Dérivée d'une constante

Si \( c \) est une constante, alors \[ \frac{d}{dx} (c) = 0. \]

Dérivée de \(x^n\)

Avec \(n\) un réel, \[ \frac{d}{dx} (x^{n}) = n \times x^{n-1}. \]

Dérivée d'une somme ou différence

Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions dérivables, alors \[ \frac{d}{dx} (f + g) = f' + g', \] et de même pour la différence.

Dérivée d'un produit par une constante

Si \(k\) est une constante, alors \[ \frac{d}{dx} (k \times f) = k \times f'. \]

Dérivée du produit de deux fonctions (règle du produit)

Pour deux fonctions \(f\) et \(g\), \[ \frac{d}{dx} (f \times g) = f' \times g + f \times g'. \]

Dérivée d'une puissance (règle de la puissance)

Pour \(f(x) = x^n\), \[ \frac{d}{dx} (x^{n}) = n \times x^{n-1}. \]

Exemples résolus

Exemple 1 : dériver \(f(x) = 3x^2 + 2x - 5\)

Exemple 2 : dériver \(g(x) = (x^3 - 4x) \times 5\)

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

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