Notion de dérivée et règles de base en mathématiques

Comprendre la dérivée permet d'analyser la vitesse de changement d'une fonction.

Objectifs

Savoir définir la dérivée d'une fonction en un point.
Utiliser les règles de base de dérivation : somme, produit, quotient, puissance.
Appliquer la dérivée à des fonctions simples pour prédire leur comportement.

Notions clés

Définition de la dérivée

La dérivée d'une fonction \(f\) en un point \(x\) est la limite, si elle existe, du taux de changement moyen lorsque \(\Delta x\) tend vers 0 :

Voir la formule

\[ \textbf{Dérivée en } x: \quad f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]

Ce nombre, si il existe, indique la pente de la tangente à la courbe en ce point.

Exemple simple

Calculons la dérivée de \(f(x) = 3x\).

Étape 1 : appliquer la formule \[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]

Étape 2 : calculer \(f(x+\Delta x) = 3(x + \Delta x) = 3x + 3\Delta x \)

Étape 3 : faire la différence \[ \frac{(3x + 3\Delta x) - 3x}{\Delta x} = \frac{3\Delta x}{\Delta x} = 3 \]

Étape 4 : prendre la limite lorsque \(\Delta x \to 0\) \[ f'(x) = 3 \]

Donc, la dérivée de \(f(x) = 3x\) est \(f'(x) = 3\).

Mini-quiz

Quelle est la dérivée de la fonction \(f(x) = 5x^2\) ?

\(f'(x) = 2x\)
\(f'(x) = 10x\)
\(f'(x) = x^2\)

La règle de dérivation d'une puissance : \(\dfrac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}\). Donc ici, \(2 \times 5 x^{2-1} = 10x\).

Les règles de base de dérivation

1. Dérivée d'une somme

La dérivée de la somme de deux fonctions est la somme de leurs dérivées :

\[ \frac{d}{dx} (f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x) \]

2. Dérivée d'un produit

Si \(u(x)\) et \(v(x)\) sont deux fonctions, alors :

\[ \frac{d}{dx} (u(x) v(x)) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \]

3. Dérivée d'un quotient

Pour \(u(x)\) et \(v(x)\) deux fonctions, \(v(x) \neq 0\) :

\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{v(x)^2} \]

4. Dérivée d'une puissance

Pour \(f(x) = x^n\) avec \(n \in \mathbb{Z}\), :

\[ \frac{d}{dx} x^{n} = n x^{n-1} \]

Exemple d'application

Calculons la dérivée de \(f(x) = (2x^3 + 4) \times x^2\) en utilisant les règles.

Voir la solution étape par étape

1. Identifions \(u(x) = 2x^3 + 4\) et \(v(x) = x^2\).

2. Dérivons chaque partie : \(u'(x) = 6x^2\), \(v'(x) = 2x\).

3. Appliquons la règle du produit : \[ f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \] \[ = 6x^2 \times x^2 + (2x^3 + 4) \times 2x \] \[ = 6x^4 + 2x(2x^3 + 4) \] \[ = 6x^4 + 4x^4 + 8x \] \[ = 10x^4 + 8x \]

Mini-quiz sur les règles

Quelle règle utiliser pour dériver la fonction \(f(x) = x^3 + 2x\) ?

La règle de la somme
La règle du produit
La règle du quotient

Parce que \(f\) est une somme, on dérive chaque terme séparément.

Résumé

Caractéristiques essentielles :

Derivée en un point : \(f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \)
Derive des fonctions de base : \(\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}\)
Règles : somme, produit, quotient, puissance