1. Définition intuitive

Une fonction associe à chaque nombre x d'un ensemble de départ (appelé ensemble de définition) au plus un nombre y appelé image de x.

Notation : si f est une fonction, on écrit y = f(x). On dit que x est un antécédent de y.

2. Terminologie importante

• Ensemble de définition (Domaine) : ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) est définie. On le note souvent Dom(f) ou D.
• Image : pour un x donné, f(x) est l'image de x.
• Antécédent : si f(a)=b, alors a est un antécédent de b.
• Ensemble-image : ensemble des valeurs réellement prises par f (les sorties).

3. Exemples simples

1. f(x) = 2x + 1. Dom(f) = ℝ. Exemple : f(3) = 7, l'image de 3 est 7.
2. g(x) = x². Dom(g) = ℝ. Exemple : g(−2) = 4 ; 2 et −2 sont des antécédents de 4.
3. h(x) = √(x−1). Ici Dom(h) = [1, +∞[ car l'expression sous la racine doit être ≥ 0.
4. k(x) = 1/(x−4). Dom(k) = ℝ \ {4} car x ≠ 4 (dénominateur non nul).

4. Représentation

Une fonction peut être donnée par :

• une formule (ex : f(x)=2x+1),
• un tableau de valeurs (suite de couples (x,f(x))),
• un graphique (courbe dans un repère),
• une description par parties (fonction définie par morceaux).

Sur le graphique, chaque abscisse x correspond à au plus un point de la courbe ; l'ordonnée de ce point est f(x).

5. Comment calculer une image et chercher des antécédents

Pour obtenir l'image de x : on remplace x dans la formule par la valeur donnée et on calcule.

Pour trouver des antécédents d'une valeur y0 : on résout l'équation f(x)=y0 et on vérifie que les solutions appartiennent au domaine.

6. Exemples résolus

1. f(x)=2x+1. Calculer l'image de 5 et trouver l'antécédent de 9.

   f(5)=2×5+1=11.
   Pour f(x)=9 → 2x+1=9 → 2x=8 → x=4. L'antécédent de 9 est 4.

2. g(x)=x²−1. Trouver les antécédents de 0.

   Résoudre x²−1=0 → (x−1)(x+1)=0 → x=1 ou x=−1. Les antécédents de 0 sont 1 et −1.

3. h(x)=√(x−1). Peut-on avoir h(x)=−1 ?

   Non, √(…) est toujours ≥ 0, donc aucune solution. L'ensemble-image est [0,+∞[.

7. Détermination de l'ensemble de définition (rappels pratiques)

• Expressions polynomiales : Dom = ℝ.
• Racines carrées : imposer ce qui est sous la racine ≥ 0.
• Fractions : interdire les valeurs annulant le dénominateur.
• Combinaisons : appliquer simultanément toutes les contraintes.

8. Remarques utiles

• Une fonction peut être injective (à chaque image correspond au plus un antécédent), surjective (l'ensemble-image couvre tout le codomaine) ou bijective si elle est injective et surjective. Notion à retenir ; étude approfondie plus tard.
• Vérifier toujours le domaine avant de conserver une solution : une solution obtenue algébriquement peut être hors domaine et donc non valide.

9. Mini-exercices (corrigés rapides)

1. f(x)=3x−2. Calculer f(0) et trouver x tel que f(x)=7.

   f(0)=−2. 3x−2=7 → 3x=9 → x=3.

2. g(x)=1/(x+1). Quel est le domaine ? trouver l'antécédent de 2.

   Dom = ℝ \ {−1}. 1/(x+1)=2 → 1=2(x+1) → 1=2x+2 → 2x=−1 → x=−1/2 (valide).

3. h(x)=√(2−x). Domaine ? image de 0 ?

   2−x ≥ 0 → x ≤ 2. Domaine = ]−∞,2]. h(0)=√2.