Notion de fonction

Introduction

En mathématiques, une fonction est une règle qui associe à chaque élément d’un ensemble un unique élément d’un autre ensemble.

Définition formelle

Une fonction \(f\) de l’ensemble \(A\) vers l’ensemble \(B\) est une relation qui, à chaque élément \(x\) de \(A\), associe un unique élément \(f(x)\) dans \(B\). Elle s’écrit :

f : A ightarrow B

On dit que \(f\) est une fonction de \(A\) vers \(B\).

Notations

• Si \(x\) est un élément de \(A\), alors \(f(x)\) désigne l’image de \(x\) par la fonction \(f\).
• Par exemple, si \(f(x) = x^2\), alors pour \(x=3\), on a \(f(3) = 9\).

Exemples simples

• La fonction \(f(x) = 2x + 1\) associe à chaque nombre réel \(x\) le nombre \(2x + 1\).
• La fonction identité \(id(x) = x\).
• La fonction constante \(f(x) = c\), où \(c\) est un réel fixé, associe à tout \(x\) la même valeur \(c\).

Propriétés importantes

• Une fonction associe un seul résultat à chaque élément.
• Une fonction peut être définie par une formule, un tableau, une représentation graphique, etc.
• La fonction peut ne pas être définie pour certains éléments (situation de domaine de définition). La fonction est alors partielle.

Conclusion

En résumé, la notion de fonction permet de modéliser une relation entre deux ensembles à travers une règle précise, associant chaque élément de l’ensemble de départ à un unique élément de l’ensemble d’arrivée.