Multiples, diviseurs, nombres premiers, pairs et impairs

Un nombre est un multiple d'un autre s'il est dans sa « table de multiplication » ; les nombres premiers sont les briques que l'on ne peut pas casser, et tout entier se fabrique avec elles.

Objectifs

Définir multiple et diviseur avec l'écriture \(a = k \times b\).
Utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10.
Écrire un nombre pair sous la forme \(2k\), un nombre impair sous la forme \(2k+1\), et s'en servir pour démontrer.
Reconnaître un nombre premier et décomposer un entier en produit de facteurs premiers.

1. Multiples et diviseurs

Exemples : \(42 = 7 \times 6\), donc 42 est un multiple de 6 et 6 est un diviseur de 42. De même \(-15 = (-3) \times 5\) : \(-15\) est un multiple de 5. Et \(0 = 0 \times b\) : 0 est multiple de tous les entiers non nuls.

Chaque façon de ranger \(a\) jetons en rectangle donne un diviseur de \(a\) : 12 se range en \(1 \times 12\), \(2 \times 6\), \(3 \times 4\). Ses diviseurs positifs sont donc 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Critères de divisibilité

Par 2 : le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Par 5 : le chiffre des unités est 0 ou 5.
Par 10 : le chiffre des unités est 0.
Par 3 : la somme des chiffres est un multiple de 3.
Par 9 : la somme des chiffres est un multiple de 9.

Exemple résolu

Trouver tous les diviseurs positifs de 36. Cherche d'abord.

On cherche les produits \(a \times b = 36\) en testant \(a = 1, 2, 3, \dots\) : \(1 \times 36\), \(2 \times 18\), \(3 \times 12\), \(4 \times 9\), \(6 \times 6\). (5 ne divise pas 36.)

On s'arrête à 6 car \(6 \times 6 = 36\) : au-delà, on retrouverait les mêmes paires dans l'autre sens.

Diviseurs positifs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Il y en a 9.

Le nombre 1 233 est-il divisible par 9 ?

Non, car il est impair
Non, car il ne se termine pas par 9
Oui, car \(1+2+3+3 = 9\)

Le critère par 9 regarde la somme des chiffres : 9 est un multiple de 9, donc 1 233 est divisible par 9 (\(1\,233 = 9 \times 137\)).

2. Nombres pairs et impairs

Exemples : \(24 = 2 \times 12\) est pair ; \(25 = 2 \times 12 + 1\) est impair ; \(-7 = 2 \times (-4) + 1\) est impair.

Exemple résolu : démontrer

Démontrer que la somme de deux nombres impairs est toujours paire.

Soient \(a\) et \(b\) deux entiers impairs. On écrit \(a = 2k + 1\) et \(b = 2m + 1\), avec \(k\) et \(m\) entiers (deux lettres différentes : les nombres peuvent être différents).

On calcule : \[a + b = 2k + 1 + 2m + 1 = 2k + 2m + 2 = 2(k + m + 1).\]

\(k + m + 1\) est un entier, donc \(a + b\) s'écrit \(2 \times\) (un entier) : \(a + b\) est pair.

Exercice : démontrer que le carré d'un nombre impair est impair.

Voir la solution

Soit \(n = 2k + 1\). Alors \[n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1.\] Comme \(2k^2 + 2k\) est un entier, \(n^2\) est de la forme \(2 \times\) entier \(+ 1\) : il est impair.

Si \(n\) est un entier, que peut-on dire de \(n(n+1)\) ?

Il est toujours pair
Il est toujours impair
Cela dépend de \(n\)

\(n\) et \(n+1\) sont deux entiers qui se suivent : l'un des deux est pair, donc leur produit est un multiple de 2.

3. Nombres premiers

Les nombres premiers inférieurs à 50 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Tester si un nombre est premier

Exemple : 97 est-il premier ? Cherche d'abord.

Voir la solution

\(\sqrt{97} \approx 9{,}8\) : on teste 2, 3, 5 et 7 (car \(11^2 = 121 > 97\)). 97 est impair (pas divisible par 2) ; \(9 + 7 = 16\) n'est pas multiple de 3 ; il ne finit ni par 0 ni par 5 ; \(97 = 7 \times 13 + 6\), donc 7 ne le divise pas. Conclusion : 97 est premier.

Décomposition en produit de facteurs premiers

Exemple résolu : décomposer 360.

On divise par le plus petit nombre premier possible : \(360 = 2 \times 180\), puis \(180 = 2 \times 90\), puis \(90 = 2 \times 45\).

45 est impair ; \(4 + 5 = 9\) : divisible par 3. \(45 = 3 \times 15\), puis \(15 = 3 \times 5\), et 5 est premier.

Bilan : \[360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5.\] Vérification : \(8 \times 9 \times 5 = 72 \times 5 = 360\).

Application : simplifier \(\dfrac{84}{360}\). Comme \(84 = 2^2 \times 3 \times 7\), on simplifie par \(2^2 \times 3 = 12\) : \[\frac{84}{360} = \frac{12 \times 7}{12 \times 30} = \frac{7}{30}.\]

Parmi ces nombres, lequel est premier ?

\(51 = 3 \times 17\) et \(57 = 3 \times 19\) (somme des chiffres 6 et 12, multiples de 3). 53 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7 (et \(11^2 > 53\)) : il est premier.

Erreurs fréquentes

Confondre « multiple de » et « diviseur de ».
Croire que 1 est premier, ou qu'un nombre impair est forcément premier.
Utiliser la même lettre \(k\) pour deux nombres différents dans une démonstration.
Se contenter d'exemples pour « démontrer » une propriété générale.
Oublier les diviseurs 1 et le nombre lui-même dans la liste des diviseurs.

Récapitulatif

\(a\) est un multiple de \(b\) (et \(b\) divise \(a\)) si \(a = k \times b\) avec \(k\) entier.
Pair : \(n = 2k\) ; impair : \(n = 2k + 1\).
Un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même ; 1 n'est pas premier.
Pour tester \(n\), on essaie les nombres premiers \(p\) avec \(p^2 \le n\).
Tout entier \(n \ge 2\) se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers.

Multiple / diviseur

\(a = k \times b\) : \(a\) multiple de \(b\), \(b\) diviseur de \(a\).

Nombre pair

S'écrit \(2k\), \(k\) entier.

Nombre impair

S'écrit \(2k+1\), \(k\) entier.

Nombre premier

Exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même (2, 3, 5, 7, 11…).

Critère par 3 ou 9

La somme des chiffres est un multiple de 3 (ou de 9).

Décomposition

Produit unique de nombres premiers, ex. \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\).