Notions et raisonnements logiques : Implication, contraposée, équivalence, réciproque

1. L'implication

L'implication est une relation entre deux propositions :
✔️ Si la proposition P est vraie, alors la proposition Q l'est aussi.
On note :
P ⇒ Q

Exemple :
« Si il pleut, alors le sol est mouillé. »

2. La contraposée

La contraposée d'une implication P ⇒ Q est ¬Q ⇒ ¬P
(si Q est fausse, alors P est aussi fausse).

✔️ La contraposée est toujours équivalente à l'implication de départ.

Exemple :
Original : « Si il pleut, alors le sol est mouillé. »
Contraposée : « Si le sol n'est pas mouillé, alors il ne pleut pas. »

3. L'équivalence

Deux propositions sont équivalentes si elles ont toujours la même valeur de vérité.
Les principales sont :

Implication : P ⇒ Q

Contraposée : ¬Q ⇒ ¬P

Réciproque : Q ⇒ P

Réciproque équivalente à l'implication si et seulement si
ils sont toutes deux vraies ou toutes deux fausses.

4. La réciproque

La réciproque de P ⇒ Q est Q ⇒ P.
Elle n'est pas automatiquement vraie si l'implication l'est.
Exemple :
- Original : « Si un nombre est divisible par 4, alors il est divisible par 2. »
- Réciproque : « Si un nombre est divisible par 2, alors il est divisible par 4. » (qui est fausse).

Résumé

- L'implication P ⇒ Q signifie que si P est vrai, alors Q l'est aussi.
- La contraposée ¬Q ⇒ ¬P est équivalente à l'implication.
- La réciproque Q ⇒ P n'est pas forcément vraie.
- Deux propositions sont équivalentes si elles ont la même valeur de vérité dans tous les cas.