Notions et raisonnements logiques : Implication, contraposée, équivalence, réciproque

Notions et raisonnements logiques

1. L'implication

L'implication est une relation entre deux propositions : si la proposition A est vraie, alors la proposition B l'est aussi.

Elle s'écrit :
A ⇒ B (lire : « A implique B » ou « si A alors B »).

Exemple :
Si il pleut (A), alors le sol est mouillé (B).
C'est vrai si chaque fois que A est vrai, B l'est aussi.

2. La contraposée

La contraposée d'une implication A ⇒ B est ¬B ⇒ ¬A

.

Elle est logiquement équivalente à l'implication initiale. Si l'implication est vraie, sa contraposée l'est aussi.

Exemple :
Si le sol n'est pas mouillé (¬B), alors il ne pleut pas (¬A).

3. L'équivalence

Deux affirmations sont équivalentes si elles ont toujours la même valeur de vérité.

Les principales sont :

Implication et contraposée :
A ⇒ B est équivalent à ¬B ⇒ ¬A.

Implication et sa réciproque :

4. La réciproque

La réciproque d'une implication A ⇒ B est B ⇒ A.

Elle n'est pas nécessairement vraie si l'implication initiale l'est, sauf si elles sont toutes deux équivalentes.

Exemple :
Si un nombre est divisible par 4 (A),
alors il est divisible par 2 (B).
> La réciproque :
Si un nombre est divisible par 2 (B),
alors il est divisible par 4 (A).
Sauf si ce n'est pas vrai dans tous les cas, la réciproque n'est pas forcément vraie.

Résumé en tableau

Implication Contraposée Réciproque Équivalence

A ⇒ B ¬B ⇒ ¬A B ⇒ A Implication + sa contraposée sont équivalentes

Conclusion

Les raisonnements logiques reposent sur ces notions. Comprendre leur relation permet de prouver des propositions ou de vérifier leur validité.