Notions et raisonnements logiques

Raisonnement par disjonction de cas ou par l’absurde

1. Introduction

Les raisonnements logiques sont essentiels en mathématiques. Deux méthodes importantes sont :

• Disjonction de cas : on divise une affirmation en plusieurs cas, puis on démontre chaque cas séparément.
• Raisonnement par l’absurde : on suppose que la proposition est fausse, puis on aboutit à une contradiction, ce qui prouve qu’elle est vraie.

2. La disjonction de cas

Ce raisonnement consiste à traiter différentes situations possibles pour prouver une affirmation. La structure est :

1. Supposer chaque cas séparément.
2. Démontrer que dans chaque cas, la conclusion est vraie.
3. En conclure que la conclusion est vraie dans tous les cas.

Exemple :
Montrer que si un nombre est pair ou impair, alors il est pair ou impair (affirmation évidente, mais illustrant la méthode).

3. La preuve par l’absurde

Ce raisonnement consiste à démontrer qu’une proposition est vraie en montrant que son contraire entraîne une contradiction :

1. Supposer que la proposition à démontrer est fausse.
2. En déduire des conséquences logiques à partir de cette supposition.
3. Montrer que cette hypothèse mène à une contradiction, c’est-à-dire une impossibilité.
4. En conclure que la proposition est donc vraie.

Exemple :
Prouver qu’un nombre rationnel dont la carré est un nombre rationnel peut avoir une certaine propriété, en utilisant l’absurde si nécessaire.

4. Résumé

• Le raisonnement par disjonction de cas consiste à diviser le problème en plusieurs cas et à traiter chaque cas séparément.
• Le raisonnement par l’absurde consiste à supposer la négation de la proposition et à montrer qu’elle mène à une contradiction.

5. Conseils pour la pratique

• Bien organiser sa démonstration, en explicitant chaque étape et chaque cas.
• Vérifier qu’on ne laisse pas de cas non traités en disjonction de cas.
• Faire attention aux contradictions dans la preuve par l’absurde, en distinguant bien ce qui mène à une contradiction.