Notions et raisonnements logiques

Raisonnement par disjonction de cas ou par l’absurde

1. Le raisonnement par disjonction de cas

Ce raisonnement consiste à diviser un problème en plusieurs cas possibles et à analyser chaque cas séparément. Si tous les cas non contradictoires conduisent à une même conclusion, cette conclusion est valable dans tous les cas.

Exemple :

Résoudre l'inégalité x > 3 ou x < 1. - Cas 1 : x > 3 - Cas 2 : x < 1 Dans chaque cas, la propriété est vérifiée selon la valeur de x. La conclusion concerne alors ces deux cas.

2. Le raisonnement par l’absurde

Ce raisonnement consiste à supposer que la proposition à démontrer est fausse, puis à montrer que cette supposition conduit à une contradiction. La conclusion est alors que la proposition initiale est vraie.

Exemple :

Montrez que √2 n’est pas rationnel.

Supposons que √2 est rationnel, donc √2 = p/q avec p et q entiers premiers entre eux.

En élevant au carré, on obtient : 2 = p² / q², donc p² = 2q².

Cela implique que p² est pair, donc p est pair, et donc p = 2k.

En remplaçant, on trouve 4k² = 2q² ou q² = 2k², donc q² est aussi pair, et q est pair, ce qui contredit le fait que p et q sont premiers entre eux.

Conclusion : √2 n’est pas rationnel.

Résumé

• Le raisonnement par disjonction de cas consiste à envisager plusieurs situations possibles et à étudier chacune.
• Le raisonnement par l’absurde suppose que la propriété est fausse, puis montre que cela mène à une contradiction, donc qu’elle est vraie.