Les ondes mécaniques transportent de l'énergie sans transporter de matière : elles expliquent le son, les signaux sismiques et les images par ultrasons.

Ondes mécaniques — Applications : son, sismologie, médecine

Niveau : 1ère • Durée estimée : 30–45 min

Objectifs

Comprendre les grandeurs d'une onde : amplitude, longueur d'onde, fréquence, période, célérité.
Relier ces notions à des applications concrètes : propagation du son, localisation d'un séisme, imagerie par ultrasons.
Réaliser des calculs simples utilisant \(v=\lambda f\) et le temps de trajet des ondes.

Notions clés

Définitions essentielles

Onde mécanique : perturbation qui se propage dans un milieu matériel en transportant énergie mais pas de matière.

Forme générale d'une onde sinusoïdale (1D) : \(y(x,t)=A\sin(kx-\omega t)\), avec \(k=\dfrac{2\pi}{\lambda}\) et \(\omega=2\pi f\).

Relation fondamentale entre célérité, longueur d'onde et fréquence :

\(v=\lambda f\)

Ondes sismiques : on distingue les ondes rapides de volume (P, compression) et les ondes plus lentes (S, cisaillement) ainsi que les ondes de surface plus destructrices.

Exemples résolus

1) Son : longueur d'onde d'un La (440 Hz)

Énoncé : calculer la longueur d'onde dans l'air (\(v\approx 343\,\mathrm{m\,s^{-1}}\)) d'un son de fréquence \(f=440\,\mathrm{Hz}\).

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Formule : \(\lambda=\dfrac{v}{f}\).

Étape 1 — remplacer les valeurs : \(\lambda=\dfrac{343}{440}\,\mathrm{m}\).

Étape 2 — calcul numérique : \(\lambda\approx 0{,}7795\,\mathrm{m}\).

Conclusion — la longueur d'onde est d'environ \(0{,}78\,\mathrm{m}\) : presque 80 cm.

2) Sismologie : distance à l'épicentre à partir du décalage S–P

Énoncé : un sismogramme montre un retard \(\Delta t=30\,\mathrm{s}\) entre l'arrivée de l'onde P et l'onde S. On prend \(v_P=8{,}0\,\mathrm{km\,s^{-1}}\) et \(v_S=4{,}5\,\mathrm{km\,s^{-1}}\). Estimer la distance \(d\) au foyer.

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On pose \(t_P=\dfrac{d}{v_P}\), \(t_S=\dfrac{d}{v_S}\) et \(\Delta t=t_S-t_P\).

En isolant \(d\) on obtient :

\begin{align} \Delta t &= d\left(\dfrac{1}{v_S}-\dfrac{1}{v_P}\right) \\ \Rightarrow d &= \dfrac{\Delta t}{\dfrac{1}{v_S}-\dfrac{1}{v_P}} = \Delta t\dfrac{v_P\,v_S}{v_P-v_S}. \end{align}

Étape 1 — substitution numérique (attention aux unités km/s) :

\(d=30\times \dfrac{8{,}0\times 4{,}5}{8{,}0-4{,}5}\,\mathrm{km}\).

Étape 2 — calcul : \(8{,}0\times4{,}5=36\); \(8{,}0-4{,}5=3{,}5\) donc \(d=30\times\dfrac{36}{3{,}5}\approx 30\times10{,}2857\approx308{,}6\,\mathrm{km}\).

Conclusion — l'épicentre est à environ \(309\,\mathrm{km}\) de la station.

3) Médecine : temps de trajet en échographie

Énoncé : un organe est situé à \(d=5\,\mathrm{cm}\) sous le capteur ; la vitesse du son dans les tissus est \(v=1540\,\mathrm{m\,s^{-1}}\). Calculer le temps entre émission et réception du signal.

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L'onde parcourt l'aller et retour : \(t=\dfrac{2d}{v}\).

Étape 1 — convertir : \(d=0{,}05\,\mathrm{m}\).

Étape 2 — calcul : \(t=\dfrac{2\times0{,}05}{1540}\,\mathrm{s}=\dfrac{0{,}10}{1540}\,\mathrm{s}\approx6{,}49\times10^{-5}\,\mathrm{s}\).

Conclusion — \(t\approx65\,\mu\mathrm{s}\) : la mesure se fait en microsecondes.

Quiz de vérification

Si la fréquence d'une onde double et que la célérité reste constante, que devient la longueur d'onde ?

Elle double
Elle est divisée par 2
Elle reste identique

Avec \(v=\lambda f\), si \(f\) double et \(v\) constant alors \(\lambda\) doit être divisée par 2.

Schéma : propagation des ondes sismiques (vue simplifiée)

Le schéma montre que les ondes P atteignent les stations avant les ondes S : c'est cette différence temporelle qu'on utilise pour estimer la distance au foyer.

Erreurs fréquentes

Confondre période \(T\) et fréquence \(f\) : \(f=1/T\).
Oublier le facteur 2 pour les mesures aller-retour (ultrasons).
Prendre des vitesses moyennes sans préciser le milieu (air, eau, tissu...).

Pour mesurer la profondeur avec des ultrasons, pourquoi multiplie-t-on la distance par 2 dans la formule \(t=\dfrac{2d}{v}\) ?

Parce que le signal parcourt l'aller ET le retour
Parce que la fréquence double
Parce que la vitesse est divisée par deux dans les tissus

L'impulsion part du capteur, atteint l'interface puis revient : le trajet total est \(2d\).

Récapitulatif

Onde mécanique = transport d'énergie dans un milieu.
Relation essentielle : \(v=\lambda f\).
Applications : son (acoustique), sismologie (localisation et magnitude), médecine (échographie, Doppler).

Cartes mémo

Longueur d'onde \(\lambda\)

Distance entre deux points en phase ; \(\lambda=\dfrac{v}{f}\).

Fréquence \(f\)

Nombre d'oscillations par seconde (Hz) ; \(f=1/T\).

Amplitude

Excursion maximale de la perturbation (son : volume).

Ondes P et S

P : ondes de compression (plus rapides). S : ondes de cisaillement (plus lentes).

Ultrasons

Mesure du temps aller-retour : \(t=\dfrac{2d}{v}\).