Opérations et priorités dans \(\mathbb{R}\)

Pour calculer juste, on respecte un ordre précis : d'abord les parenthèses, puis les puissances, puis multiplications et divisions, enfin additions et soustractions, toujours de gauche à droite.

Objectifs

Revoir les quatre opérations dans \(\mathbb{R}\) et la règle des signes.
Appliquer les règles de priorité, avec et sans parenthèses.
Calculer avec des fractions et simplifier une expression.
Développer et réduire avec la distributivité.

1. Les quatre opérations et la règle des signes

L'ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels contient tous les nombres de la droite graduée : entiers (\(-3\), \(0\), \(12\)), décimaux (\(2{,}5\)), fractions (\(\frac{1}{3}\)) et nombres comme \(\sqrt{2}\) ou \(\pi\). On peut y additionner, soustraire, multiplier, et diviser par tout nombre non nul.

Combien vaut \(-(-3)\times(-2)\) ?

\(6\)
\(-5\)
\(-6\)

\(-(-3)=3\), puis \(3\times(-2)=-6\) : un seul facteur négatif, le résultat est négatif.

2. Les règles de priorité

flowchart LR
A[Parenthèses] --> B[Puissances]
B --> C[Multiplications et divisions]
C --> D[Additions et soustractions]

On fait d'abord les multiplications : \(3\times 150=450\) et \(2\times 250=500\).

Puis l'addition : \(450+500=950\). Aïcha paie 950 F CFA.

Si l'on calculait de gauche à droite sans priorité, on trouverait \((3\times 150+2)\times 250=113\,000\) F CFA : absurde !

Voir la solution

\[\begin{align} A&=2\times 4^2-10\div 5 &&\text{parenthèses}\\ A&=2\times 16-10\div 5 &&\text{puissance}\\ A&=32-2 &&\text{multiplication et division}\\ A&=30 &&\text{soustraction} \end{align}\]

Division et multiplication ont la même priorité : on va de gauche à droite. \(12\div 4=3\).

Puis \(3\times 2=6\).

Enfin \(B=20-6=14\).

Combien vaut \(8-2\times 3+1\) ?

\(19\)
\(3\)
\(1\)

La multiplication d'abord : \(2\times 3=6\). Puis de gauche à droite : \(8-6+1=3\).

Combien vaut \(-2^2+(-2)^2\) ?

\(0\)
\(8\)
\(-8\)

\(-2^2=-4\) et \((-2)^2=4\), donc la somme vaut \(0\).

3. Calculer avec des fractions

Pour Nadia : \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}\) du gâteau.

Voir la solution

\[\begin{align} C&=\frac{2}{3}+\frac{8}{12}=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\\ D&=\left(\frac{3}{6}-\frac{2}{6}\right)\div\frac{5}{6}=\frac{1}{6}\times\frac{6}{5}=\frac{1}{5} \end{align}\]

Dans C, la multiplication passe avant l'addition. Dans D, la parenthèse passe en premier.

Combien vaut \(\dfrac{3}{4}\div\dfrac{3}{8}\) ?

\(\dfrac{9}{32}\)
\(2\)
\(\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{3}{4}\times\dfrac{8}{3}=\dfrac{24}{12}=2\).

4. Distributivité et simplification

On distribue 3 : \(3(x+4)=3x+12\).

On distribue \(-2\) : \(-2(x-1)=-2x+2\) (attention au signe du dernier terme).

On regroupe : \(E=3x-2x+12+2=x+14\).

Quelle est la forme réduite de \(5-(2x-3)\) ?

\(8-2x\)
\(2-2x\)
\(5-2x-3\)

Le moins devant la parenthèse change les deux signes : \(5-2x+3=8-2x\).

Récapitulatif

Règle des signes : signes identiques donnent \(+\), signes contraires donnent \(-\).
Priorités : parenthèses, puissances, multiplications et divisions, additions et soustractions ; à égalité, de gauche à droite.
Fractions : même dénominateur pour additionner ; diviser revient à multiplier par l'inverse.
Distributivité : \(k(a+b)=ka+kb\), et un moins devant une parenthèse change tous les signes.

Ordre des priorités

Parenthèses, puissances, multiplications et divisions, additions et soustractions.

Priorité égale

On calcule de gauche à droite : \(12\div 4\times 2=6\).

Règle des signes

\((-)\times(-)=(+)\) et \((-)\times(+)=(-)\).

\(-3^2\) ou \((-3)^2\) ?

\(-3^2=-9\) mais \((-3)^2=9\).

Diviser par une fraction

Multiplier par son inverse : \(\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}\).