Les priorités organisent le calcul ; la distributivité transforme une écriture sans changer sa valeur.

Opérations et priorités

Objectifs

Calculer dans le bon ordre.
Développer et réduire.
Factoriser avec des conditions.

Respecter les priorités

Calcule les regroupements entre parenthèses, puis les puissances, les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions. À priorité égale, avance de gauche à droite. Une barre de fraction regroupe tout son numérateur et tout son dénominateur.

flowchart LR
A[Parentheses et regroupements] --> B[Puissances]
B --> C[Produits et quotients]
C --> D[Sommes et differences]

Calcule \(A=18-3\times(2+2)\), puis \(B=24\div6\times2\).

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La parenthèse de \(A\) vaut \(4\), puis \(3\times4=12\). Donc \(A=18-12=6\).

Dans \(B\), division et multiplication ont même priorité : \(24\div6=4\), puis \(4\times2=8\).

Calculer \(24\div(6\times2)=2\) correspondrait à une autre expression.

Que vaut \(5+2\times4\) ?

\(28\)
\(13\)
\(40\)

La multiplication donne huit avant d’ajouter cinq.

Développer et réduire

La distributivité donne \(a(b+c)=ab+ac\) et \(a(b-c)=ab-ac\). Développer remplace un produit par une somme. Réduire regroupe les termes de même nature : une constante ne se confond pas avec un terme en \(x\).

Prix fictifs : cahier \(350\) F CFA, stylo \(150\) F CFA. Calcule trois lots. Puis développe \(4(2x-3)+x\).

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Un lot coûte \(350+150=500\) F CFA ; trois lots \(3\times500=1500\) F CFA.

La distributivité confirme \(3\times350+3\times150=1050+450=1500\).

Pour l’expression littérale : \(4(2x-3)+x=8x-12+x=9x-12\).

Quelle expression vaut \(-2(x-5)\) ?

\(-2x-10\)
\(-2x+10\)
\(-2x+5\)

Le facteur \(-2\) multiplie aussi \(-5\), donnant \(+10\).

Factoriser et simplifier avec des conditions

Factoriser transforme une somme en produit : \(ab+ac=a(b+c)\). Dans une fraction, simplifie un facteur commun non nul, pas des termes isolés d’une somme. Une valeur interdite au départ reste interdite après simplification.

Factorise \(6x+18\), puis simplifie \(\frac{3x+9}{3}\). Que dire de \(\frac{x(x+2)}x\) ?

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Le facteur commun est \(6\) : \(6x+18=6(x+3)\).

\(3x+9=3(x+3)\), donc \(\frac{3x+9}{3}=x+3\). Le dénominateur \(3\) est non nul.

Pour \(x\neq0\), \(\frac{x(x+2)}x=x+2\). La valeur \(x=0\) reste exclue de l’expression initiale.

Peut-on simplifier \(\frac{x+2}{x}\) en \(2\) ?

Oui pour tout réel
Non : le numérateur est une somme
Oui en effaçant les deux lettres

La simplification exige un facteur de tout le numérateur et du dénominateur.

Erreurs fréquentes

Résumé

Repère les regroupements, respecte les priorités et choisis la transformation adaptée à ton objectif.

Cartes mémo : cherche avant de retourner

Priorités

Regroupements, puissances, produits et quotients, puis sommes et différences.

Distributivité

\(a(b+c)=ab+ac\).

Réduire

Regrouper des termes de même nature.

Factoriser

Transformer une somme en produit.

Simplifier

Diviser des facteurs communs non nuls sans changer le domaine initial.