Les opérations sur les fonctions dérivables

Introduction

Si deux fonctions \(f\) et \(g\) sont dérivables sur un intervalle, il est possible de déterminer la dérivée de certaines opérations qui en résultent : la somme, le produit, le quotient et la composition.

1. La somme de deux fonctions

Si \(f\) et \(g\) sont dérivables, alors leur somme \(f + g\) défini par

(f + g)(x) = f(x) + g(x)\

est également dérivable. La dérivée est donnée par :

\( (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) \)

2. Le produit de deux fonctions

Pour la fonction \(f imes g\) définie par

(f 	imes g)(x) = f(x) 	imes g(x)\

la dérivée est donnée par la règle du produit :

\( (f g)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \)

3. Le quotient de deux fonctions

Pour \(f / g\) définie par

\left(rac{f}{g}
ight)(x) = rac{f(x)}{g(x)}\)

si \(g(x) eq 0\), alors sa dérivée est donnée par la règle du quotient :

\( \left(rac{f}{g} ight)'(x) = rac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{[g(x)]^2} \)

4. La composition de deux fonctions

Pour la composition \(f \circ g\) définie par

(f \circ g)(x) = f(g(x))\)

si \(f\) est dérivable en \(g(x)\) et \(g\) en \(x\), alors la dérivée est donnée par la règle de la chaîne :

\( (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) imes g'(x) \)

Résumé

• Somme : \((f + g)' = f' + g'\)
• Produit : \((f g)' = f' g + f g'\)
• Quotient : \(\left(rac{f}{g} ight)' = rac{f' g - f g'}{g^2}\)
• Composition : \((f \circ g)' = f'(g(x)) imes g'(x)\)

Ces règles permettent de dériver facilement des fonctions complexes en utilisant des dérivées de fonctions simples.