Opérations sur les fonctions dérivables

Introduction

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions dérivables sur un intervalle. Nous étudions ici comment dériver des opérations sur ces fonctions : somme, produit, quotient et composition.

1. Somme de deux fonctions

Si \(f\) et \(g\) sont dérivables, alors leur somme \(h = f + g\) est également dérivable et :

\(h'(x) = f'(x) + g'(x)\)

2. Produit de deux fonctions

Si \(f\) et \(g\) sont dérivables, alors leur produit \(h = f imes g\) est dérivable et :

\(h'(x) = f'(x) imes g(x) + f(x) imes g'(x)\)

3. Quotient de deux fonctions

Si \(f\) et \(g\) sont dérivables avec \(g(x) eq 0\), alors leur quotient \(h = rac{f}{g}\) est dérivable et :

\(h'(x) = rac{f'(x) imes g(x) - f(x) imes g'(x)}{g(x)^2}\)

4. Composition de deux fonctions

Si \(f\) est dérivable en \(a\) et \(g\) est dérivable en \(f(a)\), alors la composition \(h = g \circ f\) est dérivable en \(a\) et :

\(h'(a) = g'(f(a)) imes f'(a)\)

Conclusion

Ces opérations permettent de manipuler et de dériver des fonctions complexes à partir de fonctions simples. La règle de dérivation de la composition, souvent appelée « règle de chaîne », est particulièrement importante dans l'étude des fonctions composées.