Opérations sur les fonctions dérivables : somme, produit, quotient, composition

Ce cours explique comment dériver la somme, le produit, le quotient et la composition de fonctions dérivables.

Objectifs

Comprendre comment dériver la somme, le produit, le quotient et la composition de fonctions.
Appliquer ces règles pour calculer des dérivées dans différents exercices.

Notions clés

Dérivée d'une somme : si \(f\) et \(g\) sont dérivables, alors \[ (f + g)' = f' + g' \].
Dérivée d'un produit : si \(f\) et \(g\) sont dérivables, alors \[ (f \times g)' = f' \times g + f \times g' \].
Dérivée d'un quotient : si \(f\) et \(g\) sont dérivables avec \(g \neq 0\), alors \[ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f' \times g - f \times g'}{g^2} \].
Dérivée d'une composition : si \(f\) et \(g\) sont dérivables, alors \[ (f \circ g)' = f' \circ g \times g' \].

Exemple résolu : dériver des opérations

Exemple 1 : dériver la somme de deux fonctions

Soit \(f(x) = 3x^2\) et \(g(x) = x + 1\). Calculons \(\frac{d}{dx} (f + g)\).

Dérivons chaque fonction : \(f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^2) = 6x\) et \(g'(x) = \frac{d}{dx} (x + 1) = 1\).

Application de la règle de la somme : \[ (f + g)' = f' + g' = 6x + 1 \].

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La dérivée de la somme de \(f\) et \(g\) est simplement la somme de leurs dérivées : \[ \frac{d}{dx} (f + g) = 6x + 1 \].

Exemple 2 : dériver le produit de deux fonctions

Soit \(u(x) = x^2\) et \(v(x) = \sin x\). Calculons \(\frac{d}{dx} (u \times v)\).

Dérivons chaque fonction : \(u'(x) = 2x\) et \(v'(x) = \cos x\).

Application de la règle du produit : \[ (u v)' = u' v + u v' = 2x \times \sin x + x^2 \times \cos x \].

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On utilise la règle de dérivation du produit : \[ \frac{d}{dx} (u v) = u' v + u v' \].

Exemple 3 : dériver le quotient de deux fonctions

Soit \(p(x) = \frac{x^3}{x + 1}\). Calculons \(\frac{d}{dx} p(x)\).

Identifions : \(f(x) = x^3\) et \(g(x) = x + 1\). Dérivées : \(f'(x) = 3x^2\), \(g'(x) = 1\).

Application de la règle du quotient : \[\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2} = \frac{3x^2 (x + 1) - x^3 \times 1}{(x + 1)^2}\].

Simplifions : \[ \frac{3x^2 (x + 1) - x^3}{(x + 1)^2} = \frac{3x^3 + 3x^2 - x^3}{(x + 1)^2} = \frac{2x^3 + 3x^2}{(x + 1)^2} \].

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On utilise la règle du quotient pour dériver \(p(x)\) : \[ p'(x) = \frac{3x^2 (x + 1) - x^3}{(x + 1)^2} \].

Exemple 4 : dériver une composition de fonctions

Soit \(f(x) = \sin(x^2)\). Calculons \(\frac{d}{dx} f(x)\).

On reconnaît la composition : \(f(x) = \sin(g(x))\) avec \(g(x) = x^2\).

Dérivons \(g(x)\) : \(g'(x) = 2x\).

Application de la règle de la composition : \[ f'(x) = \cos(g(x)) \times g'(x) = \cos(x^2) \times 2x \].

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La dérivée de \(\sin(x^2)\) est obtenue par la règle de la chaîne : \[ \frac{d}{dx} \sin(g(x)) = \cos(g(x)) \times g'(x) \].

Erreurs fréquentes

Confondre la dérivée d'une somme avec la dérivée d'une différence.
Oublier la règle du produit ou du quotient lors de la dérivation de produits ou quotients.
Oublier la dérivée de la fonction intérieure dans la règle de la chaîne.
Ne pas vérifier que la fonction est dérivable en un point avant de dériver.

Résumé

Les opérations sur les dérivées suivent des règles simples : - La dérivée de la somme est la somme des dérivées. - La dérivée du produit utilise la règle du produit. - La dérivée du quotient utilise la règle du quotient. - La dérivée de la composition suit la règle de la chaîne. Ces règles permettent de différencier rapidement des expressions complexes en décomposant en opérations simples.

Mémo rapide

Dérivée d'une somme

La somme des dérivées : \( (f + g)' = f' + g' \)

Dérivée d'un produit

Produit de \(f'\) et \(g\), plus le produit de \(f\) et \(g'\) : \( (f g)' = f' g + f g' \)

Dérivée d'un quotient

Quotient avec formule : \[ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2} \]

Dérivée d'une composition

Règle de la chaîne : \[ (f \circ g)' = f' \circ g \times g' \]