Opérations sur les polynômes pas à pas : méthode du tableau, prévision du degré et contrôle du résultat

Pour additionner deux polynômes, on regroupe les termes de même degré ; pour les multiplier, on multiplie chaque terme par chaque terme, et l'on peut prévoir le degré et le coefficient dominant avant même de calculer.

Objectifs

Identifier les coefficients, le degré et le coefficient dominant d'un polynôme.
Calculer une somme et une différence de polynômes, et savoir pourquoi le degré peut baisser.
Multiplier deux polynômes avec la méthode du tableau, sans oublier de terme.
Prévoir le degré et le coefficient dominant d'un produit, et calculer un seul coefficient sans tout développer.
Contrôler un résultat en remplaçant \(x\) par une valeur, et identifier des coefficients inconnus.

1. Lire un polynôme

Un polynôme de la variable \(x\) est une expression de la forme

\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \]

où \(a_0, a_1, \dots, a_n\) sont des nombres réels appelés coefficients.

Si \(a_n \neq 0\), l'entier \(n\) est le degré de \(P\), noté \(\deg P\) : c'est la plus grande puissance de \(x\) qui apparaît vraiment.
\(a_n\) est le coefficient dominant ; \(a_0\) est le terme constant.
Le polynôme dont tous les coefficients sont nuls est le polynôme nul ; on ne lui attribue pas de degré (par convention, certains manuels écrivent \(-\infty\)).

Exemple : \(P(x) = 5 - 2x + 4x^3\). On le range par puissances décroissantes : \(P(x) = 4x^3 + 0x^2 - 2x + 5\). Donc \(\deg P = 3\), coefficient dominant \(4\), terme constant \(5\), et le coefficient de \(x^2\) vaut \(0\).

Quel est le degré de \(P(x) = 7 - x + 3x^2 - 6x^4\) ?

2
4
7
\(-6\)

La plus grande puissance de \(x\) avec un coefficient non nul est \(x^4\) (coefficient \(-6\)) : le degré est 4, et \(-6\) est le coefficient dominant.

2. Somme et différence, terme à terme

Pour calculer \(P + Q\) (ou \(P - Q\)), on additionne (ou on soustrait) les coefficients de même degré.

Le graphique montre \(P(x) = x^2 - 1\), \(Q(x) = ax + b\) et leur somme \(P + Q\). Fais varier \(a\) et \(b\) : la courbe de la somme reste une parabole, car le terme en \(x^2\) ne peut pas disparaître.

Exemple résolu 1 : une somme dont le degré baisse

Soient \(P(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5\) et \(Q(x) = -3x^3 + 4x^2 + 2\). Calcule \(P + Q\) et \(P - Q\), puis donne leurs degrés.

Étape 1 : ranger les deux polynômes en faisant apparaître les zéros : \(Q(x) = -3x^3 + 4x^2 + 0x + 2\).

Étape 2 : additionner degré par degré. \begin{align} P(x) + Q(x) &= (3-3)x^3 + (-2+4)x^2 + (1+0)x + (-5+2) \\ &= 2x^2 + x - 3 \end{align} Les termes en \(x^3\) se compensent : \(\deg(P+Q) = 2\), alors que \(P\) et \(Q\) sont de degré 3.

Étape 3 : soustraire en changeant le signe de tous les coefficients de \(Q\). \begin{align} P(x) - Q(x) &= (3+3)x^3 + (-2-4)x^2 + (1-0)x + (-5-2) \\ &= 6x^3 - 6x^2 + x - 7 \end{align} Ici \(\deg(P - Q) = 3\).

Avec \(P(x) = x^4 + 3x\) et \(Q(x) = -x^4 + 2x^2\), quel est le degré de \(P + Q\) ?

\(P(x) + Q(x) = 2x^2 + 3x\) : les termes en \(x^4\) s'annulent, le degré est 2.

3. Le produit avec la méthode du tableau

Pour multiplier \(P\) par \(Q\), on multiplie chaque terme de \(P\) par chaque terme de \(Q\), puis on regroupe les termes de même degré. Le tableau évite d'oublier un produit : si \(P\) a 3 termes et \(Q\) en a 3, il y a \(3 \times 3 = 9\) produits.

Règle utilisée dans chaque case : \(a x^i \times b x^j = ab\, x^{i+j}\) (on multiplie les coefficients, on additionne les exposants).

Exemple résolu 2 : un produit complet

Développe \(P(x) \times Q(x)\) avec \(P(x) = 2x^2 - 3x + 1\) et \(Q(x) = x^2 + 4x - 2\).

\(\times\)	\(x^2\)	\(4x\)	\(-2\)
\(2x^2\)	\(2x^4\)	\(8x^3\)	\(-4x^2\)
\(-3x\)	\(-3x^3\)	\(-12x^2\)	\(6x\)
\(1\)	\(x^2\)	\(4x\)	\(-2\)

Étape 1 : remplir les 9 cases (ci-dessus). Les termes de même degré sont alignés sur les diagonales du tableau.

Étape 2 : regrouper par degré. \begin{align} x^4 &: \ 2 \\ x^3 &: \ 8 - 3 = 5 \\ x^2 &: \ -4 - 12 + 1 = -15 \\ x &: \ 6 + 4 = 10 \\ \text{constante} &: \ -2 \end{align}

Étape 3 : écrire le résultat. \[ P(x)\,Q(x) = 2x^4 + 5x^3 - 15x^2 + 10x - 2 \]

Étape 4 : contrôler avec \(x = 2\). \(P(2) = 8 - 6 + 1 = 3\) et \(Q(2) = 4 + 8 - 2 = 10\), donc \(P(2)\,Q(2) = 30\). Dans le résultat : \(32 + 40 - 60 + 20 - 2 = 30\). Les deux valeurs coïncident.

Quel est le coefficient de \(x\) dans \((2x + 1)(x - 5)\) ?

\(-9\)
\(-10\)
\(11\)
\(-5\)

Les termes en \(x\) viennent de \(2x \times (-5) = -10x\) et de \(1 \times x = x\) : au total \(-9x\).

4. Prévoir avant de calculer : degré, coefficient dominant, un seul coefficient

Si \(P\) et \(Q\) sont deux polynômes non nuls :

\[ \deg(PQ) = \deg P + \deg Q \]

et le coefficient dominant de \(PQ\) est le produit des coefficients dominants. En effet, le terme de plus haut degré du produit ne peut venir que de la case « terme dominant de \(P\) fois terme dominant de \(Q\) », et ce produit n'est jamais nul.

Plus généralement, si \(P(x) = \sum a_i x^i\) et \(Q(x) = \sum b_j x^j\), le coefficient de \(x^k\) dans \(PQ\) est

\[ c_k = \sum_{i + j = k} a_i\, b_j = a_0 b_k + a_1 b_{k-1} + \dots + a_k b_0 \]

(un coefficient qui n'existe pas vaut \(0\)). Dans le tableau, ce sont les cases dont les exposants ont pour somme \(k\).

Exemple résolu 3 : prévoir sans développer

Soient \(P(x) = -4x^5 + x + 7\) et \(Q(x) = 3x^2 - x\). Donne le degré de \(PQ\), son coefficient dominant, puis le coefficient de \(x^2\).

Voir la solution

Degré : \(\deg(PQ) = 5 + 2 = 7\).
Coefficient dominant : \((-4) \times 3 = -12\), donc \(PQ\) commence par \(-12x^7\).
Coefficient de \(x^2\) : on cherche les couples d'exposants de somme 2. Avec \(a_0 = 7\), \(a_1 = 1\), \(a_2 = 0\) et \(b_0 = 0\), \(b_1 = -1\), \(b_2 = 3\) : \[ c_2 = a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0 = 7 \times 3 + 1 \times (-1) + 0 \times 0 = 20 \]

Vérification directe : \(7 \times 3x^2 = 21x^2\) et \(x \times (-x) = -x^2\), soit \(20x^2\).

\(P\) est de degré 3 et \(Q\) de degré 4. Quel est le degré de \(PQ\) ?

Pour deux polynômes non nuls, \(\deg(PQ) = \deg P + \deg Q = 3 + 4 = 7\).

Quel est le coefficient dominant de \((-2x^3 + x)(5x^2 - 1)\) ?

\(5\)
\(-2\)
\(-10\)
\(10\)

On multiplie les coefficients dominants : \((-2) \times 5 = -10\). Le produit commence par \(-10x^5\).

5. Utiliser l'égalité des coefficients : identifier

Exemple résolu 4 : trouver \(a\) et \(b\)

Trouve les réels \(a\) et \(b\) tels que, pour tout réel \(x\), \((x + a)(2x + b) = 2x^2 + x - 3\).

Étape 1 : développer le membre de gauche. \[ (x + a)(2x + b) = 2x^2 + (b + 2a)x + ab \]

Étape 2 : identifier les coefficients degré par degré. \[ \begin{cases} b + 2a = 1 \\ ab = -3 \end{cases} \]

Étape 3 : résoudre. De la première équation, \(b = 1 - 2a\). En remplaçant : \(a(1 - 2a) = -3\), soit \(2a^2 - a - 3 = 0\). Le discriminant vaut \(\Delta = 1 + 24 = 25\), d'où \(a = \frac{1 + 5}{4} = \frac{3}{2}\) ou \(a = \frac{1 - 5}{4} = -1\).

Étape 4 : conclure. Si \(a = -1\), alors \(b = 3\) ; si \(a = \frac{3}{2}\), alors \(b = -2\). Les deux couples conviennent : \[ (x - 1)(2x + 3) = 2x^2 + x - 3 \quad \text{et} \quad \left(x + \tfrac{3}{2}\right)(2x - 2) = 2x^2 + x - 3 \]

Erreurs fréquentes

Oublier de changer tous les signes dans une différence : \(P - Q\) change le signe de chaque coefficient de \(Q\), pas seulement du premier.
Multiplier les exposants : \(x^2 \times x^3 = x^5\) et non \(x^6\).
Oublier une case du tableau : un produit de polynômes à \(m\) et \(n\) termes compte \(m \times n\) produits avant regroupement.
Annoncer \(\deg(P + Q) = \max(\deg P, \deg Q)\) sans vérifier : c'est faux quand les coefficients dominants s'annulent.
Contrôler seulement avec \(x = 0\) : cela ne vérifie que le terme constant.

Récapitulatif

Le degré est la plus grande puissance de \(x\) à coefficient non nul ; ce coefficient est le coefficient dominant.
Somme et différence : on combine les coefficients de même degré ; \(\deg(P+Q) \le \max(\deg P, \deg Q)\).
Produit : chaque terme par chaque terme (méthode du tableau), puis regroupement ; \(\deg(PQ) = \deg P + \deg Q\).
Coefficient de \(x^k\) du produit : \(c_k = \sum_{i+j=k} a_i b_j\).
Contrôle : remplacer \(x\) par une valeur comme 2 ; identification : deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients.

Degré d'un polynôme

Plus grande puissance de x dont le coefficient n'est pas nul.

Coefficient dominant

Coefficient du terme de plus haut degré.

Degré d'une somme

Au plus le plus grand des deux degrés ; il peut baisser si les termes dominants s'annulent.

Degré d'un produit

Somme des degrés, pour deux polynômes non nuls.

Méthode du tableau

Chaque terme de P multiplié par chaque terme de Q, puis regroupement par degré.

Identification

Deux polynômes égaux pour tout x ont les mêmes coefficients, degré par degré.