Opérations sur les réels
Opérations sur les nombres réels
Soustraire, c'est ajouter l'opposé ; diviser, c'est multiplier par l'inverse : avec ces deux idées et la règle des signes, on calcule avec tous les nombres réels.
Objectifs
- Connaître les quatre opérations dans \(\mathbb{R}\) et leurs propriétés (commutativité, associativité, distributivité).
- Trouver l'opposé et l'inverse d'un nombre réel.
- Appliquer la règle des signes pour la multiplication et la division.
- Calculer avec des fractions et des nombres relatifs sans erreur.
1. L'ensemble \(\mathbb{R}\) et l'addition
L'ensemble des nombres réels, noté \(\mathbb{R}\), contient tous les nombres que l'on place sur une droite graduée : les entiers (\(-3\), \(0\), \(7\)), les décimaux (\(2{,}5\)), les fractions (\(\frac{2}{3}\)) et des nombres comme \(\sqrt{2}\) ou \(\pi\).
L'addition dans \(\mathbb{R}\) a deux propriétés très pratiques : pour tous réels \(a\), \(b\), \(c\) :
\[ a + b = b + a \quad \text{(commutativité)} \qquad (a + b) + c = a + (b + c) \quad \text{(associativité)} \]On peut donc changer l'ordre des termes et les regrouper comme on veut : c'est utile pour calculer de tête.
\[ 17 + 28 + 3 + 2 = (17 + 3) + (28 + 2) = 20 + 30 = 50 \]2. L'opposé et la soustraction
L'opposé d'un réel \(a\) est le réel noté \(-a\) tel que :
\[ a + (-a) = 0 \]Sur la droite graduée, \(a\) et \(-a\) sont à la même distance de \(0\), de part et d'autre. Exemples : l'opposé de \(4\) est \(-4\) ; l'opposé de \(-\frac{2}{5}\) est \(\frac{2}{5}\) ; l'opposé de \(0\) est \(0\).
Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé :
\[ a - b = a + (-b) \] \begin{align} 7 - 10 &= 7 + (-10) = -3 \\ -4 - (-9) &= -4 + 9 = 5 \\ -2{,}5 - 1{,}5 &= -2{,}5 + (-1{,}5) = -4 \end{align}Combien vaut \(-6 - (-8)\) ?
3. La multiplication et la règle des signes
Pour tous réels \(a\), \(b\), \(c\) : \(a \times b = b \times a\), \((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\), \(a \times 1 = a\) et \(a \times 0 = 0\).
Règle des signes : le produit de deux nombres de même signe est positif ; le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.
\[ (+) \times (+) = (+) \qquad (-) \times (-) = (+) \qquad (+) \times (-) = (-) \qquad (-) \times (+) = (-) \]Pour un produit de plusieurs facteurs non nuls : il est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair, négatif s'il est impair.
Exemple résolu
Calcule \(A = (-2) \times 5 \times (-3) \times (-1)\). Cherche d'abord le signe, puis la valeur.
La distributivité
La multiplication se distribue sur l'addition et la soustraction : pour tous réels \(k\), \(a\), \(b\) :
\[ k \times (a + b) = k \times a + k \times b \qquad k \times (a - b) = k \times a - k \times b \]Calcul mental : \(25 \times 104 = 25 \times (100 + 4) = 2\,500 + 100 = 2\,600\).
Quel est le signe de \((-1) \times (-4) \times (-7) \times (-2)\) ?
4. L'inverse et la division
L'inverse d'un réel \(a\) non nul est le réel noté \(\frac{1}{a}\) tel que :
\[ a \times \frac{1}{a} = 1 \]- L'inverse de \(5\) est \(\frac{1}{5} = 0{,}2\) ; l'inverse de \(-4\) est \(-\frac{1}{4}\).
- L'inverse de \(\frac{2}{3}\) est \(\frac{3}{2}\) : on « retourne » la fraction.
- \(0\) n'a pas d'inverse : aucun nombre multiplié par \(0\) ne donne \(1\).
- Un nombre et son inverse ont le même signe.
Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse :
\[ a \div b = \frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b} \qquad (b \neq 0) \]La règle des signes est la même que pour la multiplication : \(\frac{-12}{3} = -4\), \(\frac{-12}{-3} = 4\).
Quel est l'inverse de \(-\frac{3}{4}\) ?
5. Calculer avec des fractions
Pour tous réels \(a\), \(c\) et \(b\), \(d\) non nuls :
\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b} \qquad \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \qquad \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \quad (c \neq 0) \]Pour additionner deux fractions de dénominateurs différents, on les met d'abord au même dénominateur.
Exemple résolu 1 : une somme
Calcule \(B = \frac{2}{3} - \frac{5}{4}\).
Voir la solution
Le dénominateur commun est \(12\) :
\begin{align} B &= \frac{2 \times 4}{3 \times 4} - \frac{5 \times 3}{4 \times 3} \\ &= \frac{8}{12} - \frac{15}{12} \\ &= \frac{8 - 15}{12} = -\frac{7}{12} \end{align}Exemple résolu 2 : un quotient
Calcule \(C = \frac{-6}{5} \div \frac{9}{10}\) et donne le résultat sous forme irréductible.
Exemple résolu 3 : un problème
Aïcha dépense \(\frac{1}{4}\) de ses économies pour un sac, puis \(\frac{1}{3}\) du reste pour des chaussures. Quelle fraction de ses économies lui reste-t-il ?
Voir la solution
Après le sac, il reste \(1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\) des économies. Les chaussures coûtent \(\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\) des économies. Il reste donc :
\[ \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]Il lui reste la moitié de ses économies. Par exemple, avec 20 000 F CFA : sac 5 000 F, chaussures 5 000 F, il reste 10 000 F CFA.
Combien vaut \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\) ?
Erreurs fréquentes
- Écrire \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}\) : on n'additionne pas les dénominateurs, on réduit au même dénominateur.
- Oublier les parenthèses autour d'un nombre négatif : on écrit \(3 \times (-2)\), pas \(3 \times -2\).
- Penser que « moins par moins » donne toujours plus, même dans une somme : \(-3 - 5 = -8\) (c'est une somme, pas un produit).
- Confondre l'opposé (\(-a\)) et l'inverse (\(\frac{1}{a}\)).
- Diviser par \(0\) : c'est impossible.
Récapitulatif
- \(a - b = a + (-b)\) : soustraire, c'est ajouter l'opposé.
- \(a \div b = a \times \frac{1}{b}\) avec \(b \neq 0\) : diviser, c'est multiplier par l'inverse.
- Règle des signes : même signe → produit ou quotient positif ; signes contraires → négatif.
- Distributivité : \(k(a + b) = ka + kb\).
- Fractions : même dénominateur pour additionner ; produit des numérateurs et des dénominateurs pour multiplier.
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