Opérations sur les réels : tout ramener à l'addition et à la multiplication

Soustraire, c'est ajouter l'opposé ; diviser, c'est multiplier par l'inverse : avec ces deux idées et la règle des signes, tous les calculs dans \(\mathbb{R}\) se font pas à pas.

Objectifs

Trouver l'opposé et l'inverse d'un réel sans les confondre.
Transformer une soustraction en addition et une division en multiplication.
Déterminer le signe d'un produit ou d'un quotient en comptant les facteurs négatifs.
Mener un calcul complet en suivant une méthode en quatre étapes et vérifier son résultat.

1. L'opposé : la clé de la soustraction

Définition

L'opposé d'un réel \(a\) est le réel noté \(-a\) tel que \[a + (-a) = 0.\]

Sur une droite graduée, \(a\) et \(-a\) sont symétriques par rapport à 0 : ils sont à la même distance de 0, de part et d'autre.

Exemples : l'opposé de \(7\) est \(-7\) ; l'opposé de \(-\frac{2}{5}\) est \(\frac{2}{5}\) ; l'opposé de \(0\) est \(0\). En particulier \(-(-a) = a\).

Soustraire, c'est ajouter l'opposé

Pour tous réels \(a\) et \(b\) : \[a - b = a + (-b).\]

Ainsi, toute soustraction devient une addition, et pour additionner deux réels :

s'ils ont le même signe, on ajoute leurs distances à 0 et on garde ce signe ;
s'ils ont des signes contraires, on soustrait la plus petite distance à 0 de la plus grande et on prend le signe de celui qui est le plus loin de 0.

Exemple résolu 1

Calculer \(A = -7 - (-12)\) et \(B = -4{,}5 - 3{,}2\).

On remplace chaque soustraction par l'addition de l'opposé : \(A = -7 + 12\) et \(B = -4{,}5 + (-3{,}2)\).

Pour \(A\) : signes contraires. \(12 - 7 = 5\) et c'est \(12\) qui est le plus loin de 0, donc \(A = 5\).

Pour \(B\) : même signe (négatif). \(4{,}5 + 3{,}2 = 7{,}7\), on garde le signe moins : \(B = -7{,}7\).

Vérification : \(5 + (-12) = -7\) et \(-7{,}7 + 3{,}2 = -4{,}5\). Les calculs sont justes.

Combien vaut \(-3 - 8\) ?

\(5\)
\(-11\)
\(11\)
\(-5\)

\(-3 - 8 = -3 + (-8)\) : deux nombres négatifs, on ajoute leurs distances à 0 (\(3 + 8 = 11\)) et on garde le signe moins.

2. La multiplication et la règle des signes

Règle des signes

Pour multiplier deux réels, on multiplie leurs distances à 0, puis :

deux facteurs de même signe donnent un produit positif : \((-3) \times (-4) = 12\) ;
deux facteurs de signes contraires donnent un produit négatif : \((-3) \times 4 = -12\).

Pour un produit de plusieurs facteurs non nuls, il suffit de compter les facteurs négatifs :

nombre pair de facteurs négatifs : le produit est positif ;
nombre impair de facteurs négatifs : le produit est négatif.

Si l'un des facteurs est nul, le produit est nul : \(a \times 0 = 0\).

Exemple résolu 2

Calculer \(C = (-2) \times 5 \times (-3) \times (-1)\).

Voir la solution

On compte les facteurs négatifs : \(-2\), \(-3\) et \(-1\), soit 3 facteurs négatifs. 3 est impair, donc \(C\) est négatif.

On multiplie les distances à 0 : \(2 \times 5 \times 3 \times 1 = 30\). Donc \[C = -30.\]

Combien vaut \((-4) \times (-0{,}5) \times (-10)\) ?

\(20\)
\(-2\)
\(-20\)
\(2\)

Trois facteurs négatifs (nombre impair) : le produit est négatif. Et \(4 \times 0{,}5 \times 10 = 20\), donc le résultat est \(-20\).

3. L'inverse : la clé de la division

Définition

L'inverse d'un réel \(a\) non nul est le réel \(\frac{1}{a}\) tel que \[a \times \frac{1}{a} = 1.\]

L'inverse de \(4\) est \(\frac{1}{4}\) ; l'inverse de \(-5\) est \(-\frac{1}{5}\) (l'inverse garde le signe).
Pour \(a \neq 0\) et \(b \neq 0\), l'inverse de \(\frac{a}{b}\) est \(\frac{b}{a}\) : on « retourne » la fraction.
\(0\) n'a pas d'inverse : aucun nombre multiplié par 0 ne donne 1. On ne divise jamais par 0.

Diviser, c'est multiplier par l'inverse

Pour tous réels \(a\) et \(b\) avec \(b \neq 0\) : \[a \div b = \frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b}.\]

Le signe d'un quotient suit la même règle que celui d'un produit : \(\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}\) et \(\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}\).

Exemple résolu 3

Calculer \(D = \frac{3}{4} \div \left(-\frac{9}{8}\right)\) et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

Diviser par \(-\frac{9}{8}\), c'est multiplier par son inverse \(-\frac{8}{9}\) : \(D = \frac{3}{4} \times \left(-\frac{8}{9}\right)\).

Signe : un seul facteur négatif, donc \(D\) est négatif.

On simplifie avant de multiplier : \(\frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{3 \times 4 \times 2}{4 \times 3 \times 3} = \frac{2}{3}\).

Conclusion : \(D = -\frac{2}{3}\). Vérification : \(-\frac{2}{3} \times \left(-\frac{9}{8}\right) = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}\).

Quel est l'inverse de \(-\frac{2}{3}\) ?

\(-\frac{3}{2}\)
\(\frac{2}{3}\)
\(\frac{3}{2}\)

On retourne la fraction et on garde le signe : \(-\frac{2}{3} \times \left(-\frac{3}{2}\right) = 1\). \(\frac{2}{3}\) est l'opposé, pas l'inverse.

4. Méthode pas à pas pour un calcul complet

Exemple résolu 4 : le kiosque de Moussa

Gains (positifs) : \(4\,500 + 3\,000 = 7\,500\).

Pertes (négatives) : \((-2\,750) + (-1\,250) + (-6\,500) = -10\,500\).

Bilan : \(7\,500 + (-10\,500) = -3\,000\). Signes contraires, et \(10\,500\) est le plus loin de 0 : le bilan est négatif, Moussa a perdu 3 000 F.

Moyenne par jour : \(-3\,000 \div 5 = -3\,000 \times \frac{1}{5} = -600\) F. Vérification : \(5 \times (-600) = -3\,000\).

Exemple résolu 5 : un calcul avec fractions

Calculer \(E = \left(-\frac{2}{5}\right) \div \frac{4}{15} - 1\).

Voir la solution

Étape 1 : la division devient une multiplication par l'inverse et la soustraction une addition de l'opposé : \[E = \left(-\frac{2}{5}\right) \times \frac{15}{4} + (-1).\]

Étape 2 : un seul facteur négatif dans le produit, il est donc négatif.

Étape 3 : la multiplication est prioritaire : \begin{align} E &= -\frac{2 \times 15}{5 \times 4} + (-1) = -\frac{30}{20} + (-1)\\ &= -\frac{3}{2} + \left(-\frac{2}{2}\right) = -\frac{5}{2}. \end{align}

Étape 4 : \(-\frac{2}{5}\) vaut \(-0{,}4\) et \(\frac{4}{15}\) vaut un peu plus de \(0{,}25\) : le quotient est proche de \(-1{,}5\), et \(-1{,}5 - 1 = -2{,}5 = -\frac{5}{2}\). Le résultat est cohérent.

Combien vaut \(\frac{1}{2} - \frac{3}{4} \div \frac{1}{2}\) ?

\(-\frac{1}{8}\)
\(-\frac{1}{2}\)
\(-1\)
\(\frac{1}{8}\)

La division est prioritaire : \(\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times 2 = \frac{3}{2}\). Puis \(\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{2}{2} = -1\).

Erreurs fréquentes

Laquelle de ces égalités est vraie ?

\(4 - (-6) = -2\)
\(-(-7) = 7\)
L'inverse de \(-5\) est \(5\)

L'opposé de \(-7\) est \(7\). Les deux autres sont fausses : \(4 - (-6) = 10\) et l'inverse de \(-5\) est \(-\frac{1}{5}\).

Récapitulatif

Opposé : \(a + (-a) = 0\) ; soustraire, c'est ajouter l'opposé : \(a - b = a + (-b)\).
Inverse (pour \(a \neq 0\)) : \(a \times \frac{1}{a} = 1\) ; diviser, c'est multiplier par l'inverse : \(\frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b}\).
Signe d'un produit ou d'un quotient : pair de facteurs négatifs, positif ; impair, négatif.
Méthode : transformer, fixer les signes, calculer avec les priorités, vérifier.

Opposé de \(a\)

\(-a\), car \(a + (-a) = 0\). Symétrique de \(a\) par rapport à 0.

Inverse de \(a \neq 0\)

\(\frac{1}{a}\), car \(a \times \frac{1}{a} = 1\). 0 n'a pas d'inverse.

Soustraire

Ajouter l'opposé : \(a - b = a + (-b)\).

Diviser

Multiplier par l'inverse : \(a \div b = a \times \frac{1}{b}\), avec \(b \neq 0\).

Signe d'un produit

Nombre pair de facteurs négatifs : positif ; impair : négatif.