Opérations sur les vecteurs

Introduction

Les vecteurs sont comme des flèches qui ont une direction et une longueur. On peut effectuer plusieurs opérations avec ces flèches : l'addition, la soustraction et la multiplication par un nombre.

1. L'addition de vecteurs

Pour additionner deux vecteurs, par exemple \(ec{u}\) et \(ec{v}\), on utilise la règle du « pied gauche et pied droit ». Imaginez que vous déplacez \(ec{u}\), puis vous ajoutez \(ec{v}\) à la fin de \(ec{u}\). La flèche qui va du début de \(ec{u}\) à la fin de \(ec{v}\) représente \(ec{u} + ec{v}\).

Mathématiquement, si \(ec{u} = (u_x, u_y)\) et \(ec{v} = (v_x, v_y)\), alors : \[ ec{u} + ec{v} = (u_x + v_x,\ u_y + v_y) \]

2. La soustraction de vecteurs

Soustraire un vecteur, c'est comme ajouter son opposé. Par exemple, \(ec{u} - ec{v}\) revient à faire \(ec{u} + (-ec{v})\).

Si \(ec{v} = (v_x, v_y)\), alors l'opposé est :

\[ -ec{v} = (-v_x,\ -v_y) \]

Donc :

\[ ec{u} - ec{v} = (u_x - v_x,\ u_y - v_y) \]

3. La multiplication d'un vecteur par un nombre (scalaire)

Multiplier un vecteur \(ec{u}\) par un nombre \(k\) (un scalaire) change sa longueur, mais pas sa direction (sauf si \(k\) est négatif, alors la direction est inversée). On écrit :

\[ k imes ec{u} = (k u_x, k u_y) \]

Résumé

• Addition : \(ec{u} + ec{v} = (u_x + v_x, u_y + v_y)\)
• Soustraction : \(ec{u} - ec{v} = (u_x - v_x, u_y - v_y)\)
• Multiplication par un scalaire : \(k imes ec{u} = (k u_x, k u_y)\)

Analogie

Pensez aux vecteurs comme à des flèches dans une carte : vous pouvez les empiler, en retourner d’une direction ou changer leur longueur en les multipliant. Ces opérations vous permettent de déplacer et de manipuler ces flèches pour représenter différentes situations en géométrie ou en physique.