Opérations sur les vecteurs

Les vecteurs peuvent s'additionner, se soustraire et se multiplier par un nombre.

Objectifs

Comprendre comment effectuer des opérations sur les vecteurs dans le plan.
Savoir réaliser l'addition, la soustraction et la multiplication par un scalaire de vecteurs.

Pour additionner deux vecteurs, on additionne leurs composantes :

\vec{u} = \begin{bmatrix} u_x \ u_y \end{bmatrix} , \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} v_x \ v_y \end{bmatrix} \implies \vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} u_x + v_x \ u_y + v_y \end{bmatrix}

La soustraction se fait de manière similaire :

\vec{u} - \vec{v} = \begin{bmatrix} u_x - v_x \ u_y - v_y \end{bmatrix}

Multiplier un vecteur par un nombre (scalaire) étire ou compresse le vecteur :

k \times \vec{u} = \begin{bmatrix} k \times u_x \ k \times u_y \end{bmatrix}

Soit \(\vec{u} = \begin{bmatrix} 3 \ 2 \end{bmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \ 4 \end{bmatrix}\). Calculez \(\vec{u} + \vec{v}\).

Voir la solution

Étape 1 : Identifie les composantes de chaque vecteur.

Étape 2 : Additionne les composantes correspondantes : \[ \begin{bmatrix} 3+1 \ 2+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \ 6 \end{bmatrix} \]

Soit \(\vec{w} = \begin{bmatrix} 2 \ -3 \end{bmatrix}\). Calculez \( 4 \times \vec{w} \).

Voir la solution

Étape 1 : Multiplie chaque composante par 4.

\[ 4 \times \begin{bmatrix} 2 \ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \times 2 \ 4 \times -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \ -12 \end{bmatrix} \]

Confondre addition et soustraction.
Ne pas respecter l'ordre des composantes lors des opérations.
Multiplier ou additionner des vecteurs sans considérer leurs composantes, ou faire intervenir des opérations inadaptées.

Les vecteurs s'additionnent en additionnant leurs composantes : \[\vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} u_x + v_x \ u_y + v_y \end{bmatrix}\]
La soustraction fonctionne de même : \[\vec{u} - \vec{v} = \begin{bmatrix} u_x - v_x \ u_y - v_y \end{bmatrix}\]
Multiplier un vecteur par un nombre dilate ou contracte ses composantes : \[k \times \vec{u} = \begin{bmatrix} k u_x \ k u_y \end{bmatrix}\]