Objectifs

• Rappeler ce qui caractérise un vecteur : direction, sens, longueur.
• Construire la somme de deux vecteurs (bout à bout ou avec un parallélogramme) et utiliser la relation de Chasles.
• Connaître le vecteur nul et le vecteur opposé, et soustraire deux vecteurs.
• Multiplier un vecteur par un nombre et construire le résultat.
• Calculer avec des vecteurs sur un quadrillage.

1. Rappel : qu'est-ce qu'un vecteur ?

Notions clés

Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est représenté par une flèche qui va de \(A\) vers \(B\). Il est défini par :

• sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;
• son sens : de \(A\) vers \(B\) ;
• sa longueur (ou norme) : la distance \(AB\).

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\), alors \(ABDC\) est un parallélogramme (attention à l'ordre des lettres). On note souvent un vecteur avec une seule lettre : \(\vec{u}\), \(\vec{v}\).

2. Additionner deux vecteurs

La relation de Chasles (bout à bout)

Pour trois points \(A\), \(B\), \(C\) quelconques :

Le point d'arrivée du premier vecteur est le point de départ du second ; le résultat va du tout premier point au tout dernier.

Pour additionner deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) quelconques, on les place bout à bout :

La règle du parallélogramme (même origine)

Si les deux vecteurs partent du même point \(O\), on complète le parallélogramme : la somme est la diagonale qui part de \(O\).

Exemple résolu

Simplifie \(\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PQ}\). Cherche d'abord.

3. Vecteur nul, vecteur opposé et soustraction

Notions clés

• Le vecteur nul \(\vec{0}\) correspond à « ne pas bouger » : \(\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{BB} = \vec{0}\).
• Le vecteur opposé de \(\vec{u}\), noté \(-\vec{u}\), a la même direction et la même longueur, mais le sens contraire. En particulier : \(-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}\), et \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}\).
• Soustraire un vecteur, c'est ajouter son opposé : \[\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + \left(-\vec{v}\right)\]

Exemple résolu

Simplifie \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}\). Cherche d'abord.

4. Multiplier un vecteur par un nombre

Notions clés

Soit \(k\) un nombre non nul et \(\vec{u}\) un vecteur non nul. Le vecteur \(k\vec{u}\) a :

• la même direction que \(\vec{u}\) ;
• le même sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\), le sens contraire si \(k < 0\) ;
• une longueur multipliée par la distance à zéro de \(k\) : \(2\vec{u}\) est deux fois plus long, \(\frac{1}{2}\vec{u}\) deux fois plus court.

Enfin \(0 \times \vec{u} = \vec{0}\). Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(k\vec{u}\) ont la même direction : on dit qu'ils sont colinéaires.

Exemple résolu : le milieu d'un segment

\(I\) est le milieu de \([AB]\). Exprime \(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{IB}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\). Cherche d'abord.

5. Calculer sur un quadrillage

Notions clés

On écrit par exemple \(\vec{u}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) pour « 4 carreaux à droite, 2 carreaux vers le haut ». Alors :

• pour additionner, on additionne les déplacements horizontaux entre eux et les déplacements verticaux entre eux ;
• pour multiplier par \(k\), on multiplie les deux nombres par \(k\) ;
• l'opposé change les deux signes.

Exemple résolu

Sur le quadrillage de l'étape « bout à bout » plus haut, \(\vec{u}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}\). Calcule \(\vec{u} + \vec{v}\), puis \(2\vec{u}\) et \(\vec{u} - \vec{v}\).

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