Opérations sur les vecteurs

Introduction

Les vecteurs sont des objets mathématiques représentés par une flèche. Ils possèdent une direction, un sens, et une norme (longueur). Nous allons étudier les principales opérations possibles avec les vecteurs : la somme, la différence, la multiplication par un scalaire et le produit scalaire.

1. La somme de deux vecteurs

La somme de deux vecteurs \( ec{u} \) et \( ec{v} \) est un vecteur noté \( ec{u} + ec{v} \).

Pour la représenter graphiquement, on place le vecteur \( ec{u} \) et, à partir de l'extrémité de \( ec{u} \), on trace \( ec{v} \). La somme \( ec{u} + ec{v} \) est le vecteur allant du début de \( ec{u} \) à la fin de \( ec{v} \).

En coordonnées, si \( ec{u} = (u_1, u_2) \) et \( ec{v} = (v_1, v_2) \), alors:

\[\] \[\]

\[\]

\[\]
et donc :
\[ ec{u} + ec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2) \]
2. La différence de deux vecteurs
La différence \( ec{u} - ec{v} \) se calcule en soustrayant leurs coordonnées :
\[ ec{u} - ec{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2) \]
3. La multiplication d’un vecteur par un scalaire
Multiplier un vecteur \( ec{u} = (u_1, u_2) \) par un nombre réel \( k \) donne : 
\[ k 	imes ec{u} = (k u_1, k u_2) \]
Ce qui modifie la longueur du vecteur : si \( |k| > 1 \), le vecteur est agrandi ; si \( 0 < |k| < 1 \), il est réduit ; si \( k \) est négatif, le vecteur indique dans la direction opposée.
4. Exemple d’application
Si \( ec{u} = (3, 4) \) et \( ec{v} = (1, 2) \), alors :

 \( ec{u} + ec{v} = (3+1, 4+2) = (4, 6) \)
 \( 2 	imes ec{u} = (2 	imes 3, 2 	imes 4) = (6, 8) \)
 \( ec{u} - ec{v} = (3-1, 4-2) = (2, 2) \)

Conclusion
Les opérations sur les vecteurs permettent de combiner, de comparer ou de modifier ces objets géométriques ou algébriques. Elles sont fondamentales en géométrie, physique et ingénierie.