Opérations sur matrices
2ndeMathematiquesMatrices et transformationsOpérations sur matrices~3 min de lecture
Ce cours explique comment effectuer des opérations sur les matrices.
Opérations sur matrices
Objectifs
Notions clés
- Matricielle : tableau rectangulaire de nombres.
- Addition/Soustraction : opérations élément par élément si matrices compatibles.
- Multiplication par un scalaire : chaque élément est multiplié par ce nombre.
- Multiplication de matrices : produit de deux matrices compatibles.
Exemples résolus
Exemple 1 : Addition de matrices
Soient \[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}\], \[\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix}\]
Calculons \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\).
On additionne chaque élément correspondant :
(\(1+5\), \(2+6\); \(3+7\), \(4+8\))
Résultat : \[\begin{bmatrix} 6 & 8 \ 10 & 12 \end{bmatrix}\]
Exemple 2 : Multiplication par un scalaire
Soit \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \ 0 & 3 \end{bmatrix}\). Calcule \(\lambda \times \mathbf{A}\) avec \(\lambda=3\).
On multiplie chaque élément par 3 :
(\(3 \times 1\), \(3 \times -2\); \(3 \times 0\), \(3 \times 3\))
Résultat : \[\begin{bmatrix} 3 & -6 \ 0 & 9 \end{bmatrix}\]
Exemple 3 : Produit de deux matrices
Soient \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}\) et \(\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \ 1 & 2 \end{bmatrix}\). Calculons \(\mathbf{A} \times \mathbf{C}\).
Voir la solution
Calcul de l'élément en (1,1) :
\[\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix} = 1 \times 2 + 2 \times 1 = 2 + 2 = 4\]
\[\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix} = 1 \times 2 + 2 \times 1 = 2 + 2 = 4\]
En (1,2) :
\[\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 \ 2 \end{bmatrix} = 1 \times 0 + 2 \times 2 = 0 + 4 = 4\]
\[\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 \ 2 \end{bmatrix} = 1 \times 0 + 2 \times 2 = 0 + 4 = 4\]
En (2,1):
\[\begin{bmatrix} 3 & 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix} = 3 \times 2 + 4 \times 1 = 6 + 4 = 10\]
\[\begin{bmatrix} 3 & 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix} = 3 \times 2 + 4 \times 1 = 6 + 4 = 10\]
En (2,2):
\[\begin{bmatrix} 3 & 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 \ 2 \end{bmatrix} = 3 \times 0 + 4 \times 2 = 0 + 8 = 8\]
\[\begin{bmatrix} 3 & 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 \ 2 \end{bmatrix} = 3 \times 0 + 4 \times 2 = 0 + 8 = 8\]
Résultat : \[\begin{bmatrix} 4 & 4 \ 10 & 8 \end{bmatrix}\]
Erreurs fréquentes
- Ne pas vérifier que les matrices ont les mêmes dimensions pour l'addition ou la soustraction.
- Oublier de multiplier chaque élément du tableau par le scalaire.
- Confondre la multiplication matricielle avec le produit élément par élément (ce qui n'est pas le cas pour le produit matriciel).
- Vérifier les dimensions avant de faire le produit : si \(\mathbf{A}\) est de taille \(m \times n\), alors \(\mathbf{C}\) doit être de taille \(n \times p\).
Récapitulatif
- On peut additionner ou soustraire deux matrices si elles ont la même taille.
- Multiplier une matrice par un scalaire consiste à multiplier chaque élément par ce scalaire.
- Le produit de deux matrices se calcule par la somme des produits des lignes par les colonnes, en respectant les dimensions.
Mini quiz
Quelles matrices peuvent être additionnées ?
Réponse : 1, uniquement les matrices de même taille peuvent être additionnées.
Cartes mémo
Addition / Soustraction
Élément par élément, pour matrices de même dimension.
Multiplication par un scalaire
Multiply chaque élément de la matrice par un nombre.
Produit de matrices
Lignes de la première par colonnes de la seconde, dimensions compatibles.
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