Objectifs

• Comprendre comment additionner, soustraire et multiplier des matrices
• Savoir réaliser la multiplication d'une matrice par un scalaire
• Connaître les propriétés essentielles des opérations sur matrices

Notions clés

• Adjonction, produit, scalaire
• Dimension (ordre) d'une matrice
• Associativité, distributivité

Exemple résolu : multiplication d'une matrice par un scalaire

Considérons la matrice :

M = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}

On souhaite calculer :

3 \times M

Réalisation :

 3 \times M = \begin{bmatrix} 3 \times 2 & 3 \times 4 \\ 3 \times 1 & 3 \times 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 12 \\ 3 & 9 \end{bmatrix} 

Les opérations : addition, soustraction et multiplication

Addition et soustraction

Deux matrices s'additionnent ou se soustraient si elles ont la même dimension.

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \pm \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \pm e & b \pm f \\ c \pm g & d \pm h \end{bmatrix}

Multiplication

La multiplication de deux matrices est définie si le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde.

\text{Si }A\text{ est } m \times n,\text{ et }B\text{ est } n \times p,\text{ alors }\textbf{AB} \text{ est } m \times p.
\end{code>

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \times 0 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 2 \times 0) \\ (3 \times 0 + 4 \times 1) & (3 \times 1 + 4 \times 0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}