1. Définition de la matrice

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, rangé en lignes et colonnes. Par exemple, une matrice \(A\) de taille \(2 \times 3\) (2 lignes, 3 colonnes) s'écrit :

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
                   a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}

2. Opérations sur matrices

a) Addition et soustraction

Deux matrices de même taille se additionnent ou se soustraient en additionnant ou soustrayant chaque élément correspondant :

 \mathbf{A} + \mathbf{B} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\
                                              a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

b) Multiplication par un scalaire

Multiplier une matrice par un nombre (scalaire) revient à multiplier chaque élément de la matrice par ce nombre :

 k \times \mathbf{A} = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\
                                           k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

3. Multiplication de matrices

Pour multiplier deux matrices \(\mathbf{A}\) (de taille \(m \times n\)) et \(\mathbf{B}\) (de taille \(n \times p\)), on calcule chaque élément de la matrice résultante \(\mathbf{C}\) (de taille \(m \times p\)) ainsi :

 c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \times b_{kj}

Le produit est défini si le nombre de colonnes de la première Matrice est égal au nombre de lignes de la seconde.

Exemple simple :

 \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\
                            3 & 4 \end{bmatrix}, \quad
 \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\
                            1 & 0 \end{bmatrix}

Calculons \(\mathbf{AB}\) :

La matrice produit est :

 \mathbf{AB} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\
                                   4 & 3 \end{bmatrix}

Mini-quiz

Notions à retenir

Résumé

Les opérations sur matrices (addition, multiplication, scalaire) permettent de manipuler efficacement ces tableaux pour résoudre des problèmes et modéliser des situations concrètes en mathématiques et sciences.