Opérations sur polynômes
Opérations sur les polynômes : somme, différence et produit
Pour additionner ou soustraire deux polynômes, on regroupe les termes de même puissance ; pour les multiplier, on distribue chaque terme sur chaque terme, et les degrés s'ajoutent.
Objectifs
- Reconnaître un polynôme, son degré, ses coefficients et son coefficient dominant.
- Calculer la somme et la différence de deux polynômes, et prévoir le degré du résultat.
- Développer le produit de deux polynômes et connaître son degré et son coefficient dominant.
- Calculer directement un coefficient du produit grâce à la formule des coefficients (convolution).
1. Vocabulaire : degré et coefficient dominant
Un polynôme est une fonction \(P\) qui peut s'écrire
\[P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0\]où \(n\) est un entier naturel et \(a_0, a_1, \dots, a_n\) sont des nombres réels, appelés coefficients. Chaque \(a_k x^k\) est un monôme (un terme).
- Si \(a_n \neq 0\), l'entier \(n\) est le degré de \(P\), noté \(\deg P\) : c'est la plus grande puissance de \(x\) présente.
- \(a_n\) est le coefficient dominant et \(a_n x^n\) le terme dominant.
- \(a_0\) est le terme constant, égal à \(P(0)\).
- Le polynôme nul (tous les coefficients nuls) n'a pas de degré.
Exemple : \(P(x) = 4 - x + 2x^3\). On l'ordonne d'abord : \(P(x) = 2x^3 + 0x^2 - x + 4\). Son degré est 3, son coefficient dominant 2, son terme constant 4, et le coefficient de \(x^2\) est 0.
Quel est le degré de \(P(x) = 5 - 3x^2 + 7x^4 - x\) ?
2. Somme et différence de deux polynômes
Pour calculer \(P + Q\), on additionne les coefficients des termes de même puissance :
\[(a_k x^k) + (b_k x^k) = (a_k + b_k)\,x^k\]Pour \(P - Q\), on change le signe de chaque terme de \(Q\), puis on additionne.
Degré d'une somme. Si \(P\), \(Q\) et \(P + Q\) sont non nuls :
\[\deg(P + Q) \leq \max(\deg P,\ \deg Q)\]- Si \(\deg P \neq \deg Q\), il y a égalité : le terme dominant du plus « grand » polynôme reste seul.
- Si \(\deg P = \deg Q\), les termes dominants peuvent s'annuler et le degré baisse. Exemple : \((x^2 + 3x) + (-x^2 + 1) = 3x + 1\), de degré 1.
Quel est le degré de \((3x^2 - 2x + 1) + (-3x^2 + 5x - 4)\) ?
Que vaut \((x^2 + 4x) - (x^2 - 3x + 2)\) ?
3. Produit de deux polynômes
Pour multiplier deux polynômes, on multiplie chaque terme du premier par chaque terme du second (double distributivité), puis on réduit en regroupant les termes de même puissance. On utilise la règle \(x^i \times x^j = x^{i+j}\).
\[(x + 3)(2x + 1) = 2x^2 + x + 6x + 3 = 2x^2 + 7x + 3\]Vérification pour \(x = 10\) : \((10 + 3)(20 + 1) = 13 \times 21 = 273\) et \(2 \times 100 + 70 + 3 = 273\).
Manipule les curseurs : la courbe de \(y = (x + a)(x + b)\) et celle de sa forme développée \(y = x^2 + (a + b)x + ab\) restent toujours confondues, car ce sont deux écritures du même polynôme.
\(P(x) = 2x^3 + x - 7\) et \(Q(x) = -5x^4 + x^2 + 3\). Quel est le terme dominant de \(PQ\) ?
4. Calculer un coefficient du produit sans tout développer
Si \(P(x) = \sum a_i x^i\) et \(Q(x) = \sum b_j x^j\), alors \(PQ(x) = \sum c_k x^k\) avec
\[c_k = \sum_{i + j = k} a_i\, b_j = a_0 b_k + a_1 b_{k-1} + \dots + a_k b_0\](un coefficient qui n'existe pas vaut 0). Cette formule s'appelle le produit de convolution des suites de coefficients. Par exemple :
\[c_0 = a_0 b_0, \qquad c_1 = a_0 b_1 + a_1 b_0, \qquad c_2 = a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0\]Quel est le coefficient de \(x\) dans \((x^2 + 2x - 3)(4x + 1)\) ?
5. Exemples résolus
Exemple 1 : somme, différence et produit
Soit \(P(x) = 2x^3 - x + 4\) et \(Q(x) = x^2 + 3x - 1\). Calcule \(P + Q\), \(P - Q\) et \(PQ\).
| × | \(x^2\) | \(3x\) | \(-1\) |
|---|---|---|---|
| \(2x^3\) | \(2x^5\) | \(6x^4\) | \(-2x^3\) |
| \(-x\) | \(-x^3\) | \(-3x^2\) | \(x\) |
| \(4\) | \(4x^2\) | \(12x\) | \(-4\) |
Exemple 2 : un seul coefficient
Cherche d'abord : quel est le coefficient de \(x^2\) dans \((3x^2 - 2x + 5)(x^2 + 4x - 2)\) ?
Voir la solution
On repère \(a_0 = 5\), \(a_1 = -2\), \(a_2 = 3\) et \(b_0 = -2\), \(b_1 = 4\), \(b_2 = 1\).
\[c_2 = a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0 = 5 \times 1 + (-2) \times 4 + 3 \times (-2) = 5 - 8 - 6 = -9\]Contrôle par le développement complet : \((3x^2 - 2x + 5)(x^2 + 4x - 2) = 3x^4 + 10x^3 - 9x^2 + 24x - 10\).
Exemple 3 : un produit qui se simplifie
Cherche d'abord : développe \((x^2 + x + 1)(x - 1)\).
Voir la solution
\[\begin{align} (x^2 + x + 1)(x - 1) &= x^3 - x^2 + x^2 - x + x - 1 \\ &= x^3 - 1 \end{align}\]Les termes intermédiaires s'annulent deux à deux. Le degré vaut bien \(2 + 1 = 3\) : dans un produit, contrairement à une somme, le terme dominant ne peut jamais disparaître.
\(P\) est de degré 4 et \(Q\) de degré 4. Laquelle de ces affirmations est toujours vraie ?
Erreurs fréquentes
- Additionner des termes de puissances différentes : \(x^2 + x\) ne vaut pas \(x^3\) ni \(2x^2\).
- Multiplier les exposants au lieu de les ajouter : \(x^3 \times x^4 = x^7\), pas \(x^{12}\).
- Oublier de distribuer le signe moins sur tous les termes dans \(P - Q\).
- Oublier un produit en développant : un produit de 3 termes par 3 termes donne 9 produits partiels (d'où l'intérêt du tableau).
- Confondre degré et coefficient dominant : dans \(7x^4\), le degré est 4 et le coefficient dominant 7.
Récapitulatif
- Degré = plus grande puissance de coefficient non nul ; coefficient dominant = son coefficient.
- Somme et différence : on regroupe les termes de même puissance ; \(\deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q)\).
- Produit : chaque terme par chaque terme ; \(\deg(PQ) = \deg P + \deg Q\), coefficient dominant = produit des coefficients dominants.
- Coefficient de \(x^k\) dans \(PQ\) : \(c_k = \sum_{i + j = k} a_i b_j\).
- Contrôle rapide : remplacer \(x\) par 1 (ou 10) des deux côtés.
Teste tes connaissances sur ce cours
Crée ton compte gratuitement pour accéder aux quiz associés et suivre ta progression.