Les opérations fondamentales sur les vecteurs permettent de combiner et d'analyser leurs effets.

Opérations vectorielles

Objectifs

Comprendre les principales opérations sur les vecteurs : addition, soustraction, multiplication par un scalaire.
Savoir réaliser ces opérations à partir de deux vecteurs donnés.
Utiliser ces opérations pour résoudre des problèmes géométriques simples.

Notions clés

Vecteur : un segment orienté représenté par une flèche avec une direction, une norme (longueur) et un sens.
Addition : combinaison de deux vecteurs pour obtenir un nouveau vecteur.
Soustraction : opération inverse de l'addition, représentant un déplacement dans la direction opposée.
Multiplication par un scalaire : amplification ou réduction d'un vecteur.

Exemples résolus

Addition de deux vecteurs

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs, avec \[ \vec{u} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} \quad \text{et} \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \end{bmatrix} \]

Leur somme est donnée par \[ \vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} 3 + (-1) \\ 2 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \end{bmatrix} \]

Étape 1 : Identifier les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\\vec{v}\).

Étape 2 : Additionner composante par composante : \(x_1 + x_2\) et \(y_1 + y_2\).

Résultat : \(\begin{bmatrix} 2 \\ 6 \end{bmatrix}\).

Voir la solution

La somme se calcule en additionnant chaque composante respective :

\[ \vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} 3 + (-1) \\ 2 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \end{bmatrix} \]

Multiplication d’un vecteur par un scalaire

Considérons le vecteur \(\vec{w} = \begin{bmatrix} 4 \\ -3 \end{bmatrix}\).

Multipliant par le scalaire 2, on obtient :

\[ 2 \times \vec{w} = \begin{bmatrix} 2 \times 4 \\ 2 \times (-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ -6 \end{bmatrix} \]

Étape 1 : Identifier le vecteur \(\vec{w}\) et le scalaire.

Étape 2 : Multiplier chaque composante par le scalaire.

Résultat : \(\begin{bmatrix} 8 \\ -6 \end{bmatrix}\).

Voir la solution

Simplement, on multiplie chaque composante du vecteur par le nombre :

\[ \begin{bmatrix} 4 \\ -3 \end{bmatrix} \times 2 = \begin{bmatrix} 8 \\ -6 \end{bmatrix} \]

Erreurs fréquentes

Confondre addition et multiplication : ne pas additionner avec le scalaire, mais multiplier chaque composante.
Oublier de respecter la direction du vecteur lors de la soustraction ou de la multiplication.
Ne pas vérifier la cohérence des dimensions lors de l’addition ou de la soustraction.

Récapitulatif

Addition

Additionner composante par composante : \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{bmatrix}\)

Soustraction

Soustraire composante par composante : \(\vec{u} - \vec{v} = \begin{bmatrix} x_1 - x_2 \\ y_1 - y_2 \end{bmatrix}\)

Multiplication scalaire

Multiplier chaque composante par un nombre : \(k \times \vec{v} = \begin{bmatrix} k \times x \\ k \times y \end{bmatrix}\)

Quiz de compréhension

Que signifie la multiplication d’un vecteur par un scalaire ?

Changer la direction du vecteur sans changer sa longueur
Adapter la longueur du vecteur en la multipliant par un nombre
Changer la direction mais pas la longueur

C’est la réponse 2 : on modifie la longueur du vecteur en la multipliant par un scalaire.